Zenón de Elea vivió en el s V a.C. y nos dejó constancia sobre lo mínimo, lo que hoy podemos llamar infinitesimal; conseguido por un proceso iterativo infinito. Existía la creencia en la Grecia antigua de que todo trozo de materia por pequeño que sea siempre puede ser dividido en trozos más pequeños. Con Leucipo de Mileto, también del s V a.C. y su discípulo Demócrito de Abdera se formó el atomismo que postulaba un final a tal divisibilidad de la materia, llegando a las unidades de materia mínimas que llamaron átomos y que ya no eran divisibles. Un milenio antes, el fenicio Mosco de Sidón (s XIV a.C.) ya concibió el pensamiento atomista en el que la divisibilidad tenía fin. Zenón imagina que no haya fin, que la materia puede ser dividida infinitamente. La más conocida de las paradojas de Zenón es la de Aquiles y la tortuga. En ella propone una carrera entre una tortuga y el héroe en la que este da una ventaja al animal de un estadio de distancia. Iniciada la carrera ambos avanzan y Aquiles alcanza enseguida el lugar desde el que partió la tortuga, pero esta ha avanzado y Aquiles llegará pronto a esa nueva posición en la que el reptil se encuentra en ese momento. Nuevamente, cuando llegue al nuevo emplazamiento la tortuga habrá avanzado más. Repitiendo el proceso una y otra vez Zenón concluye que Aquiles jamás alcanzará a la tortuga. Entonces sabían y ahora seguimos sabiendo que Aquiles sí que alcanzaría y rebasaría a la tortuga. Antes, porque era lo que se constataba en cualquier carrera en que se diera ventaja al contrincante lento; aunque el objeto de esta y otras de sus paradojas era negar que la información recibida por los sentidos fuese veraz. Ahora, además, porque se sabe que las diversas distancias que recorre Aquiles forman una serie y que sumando las infinitas se obtiene un número real que es la distancia donde alcanza a la tortuga. Matemáticamente existe un proceso de infinitas repeticiones que tiene como resultado una distancia real.
Si Zenón no hubiese considerado distancias entre salida y meta, sino mediciones de trayectos reales recorridos y en vez del héroe y la tortuga hubiese supuesto entes imaginarios capaces de menguar cuanto hiciese falta, pues todo hubiese cambiado desde la antigüedad, y el ente tortuga y el ente Aquiles menguados recorrerían trayectos infinitos cuando ellos tendiesen al tamaño cero. Conforme el proceso de intentar alcanzar al ente imaginario tortuga se reitera se hubiesen percatado que el suelo es irregular y que hay que recorrerlo cada vez con más precisión al menguar a los imaginarios héroe y reptil, teniendo estos que recorrer un camino tremendamente tortuoso, saltando y sorteando guijarros, granos de arena, rugosidades, aristas, salientes y huecos en los granos de arena, motas de polvo, esporas, bacterias, virus, moléculas, átomos y distancias cada vez más menudas en los átomos, protones, neutrones, electrones y los huecos inmensos entre estas partículas subatómicas y perderse en cosas más menudas que cabalgan entre la materia y la energía real y virtual. Para hacer ese recorrido nuestra imaginaria tortuga y nuestro imaginario Aquiles habrían menguando a un tamaño aproximado a cero respecto del tamaño habitual de las cosas y así sí sería posible que jamás alcanzase a la tortuga. Bajo ese prisma de un trayecto a recorrer, considerando que nuestros protagonistas menguan para poder adaptarse a las circunstancias de la aproximación al infinitesimal, el camino, al final, sería infinito y jamás Aquiles vencería en la prueba, pues el trayecto entre ellos sería infinito. Por suerte, ni la tortuga ni Aquiles recorren ese trayecto infinito, ni tampoco nosotros cuando nos desplazamos, pero en muchos fractales matemáticos la trayectoria entre dos puntos cualesquiera mide infinito.
Si Aquiles y la tortuga tienen su tamaño real, Aquiles alcanza a la tortuga en cierto lugar. Si ambos tuviesen un tamaño la mitad del real durante toda la carrera, seguramente también la prueba terminase casi en el mismo lugar que con tamaño real. Si sus tamaños fueses de una milésima parte del real, Aquiles parecería una hormiga, y el trayecto a recorrer ya no sería el mismo y le daría alcance en el otro lugar. La distancia de un estadio de ventaja con que cuenta la tortuga siempre será la misma tengan el tamaño que tengan los participantes en la carrera, porque la distancia es una medición entre dos puntos y no la medición de una trayectoria. A los efectos del público que observase la prueba y que permaneciese a tamaño real, ese estadio de distancia se ve muy distinto a como lo ve el menguado Aquiles, que piensa en un trayecto a recorrer tremendamente mucho más grande a un estadio. Si menguamos a una millonésima parte sus tamaños el efecto reseñado se exagera mucho más. Conforme mengue el tamaño para aproximarse a cero, el trayecto tiende a irse al infinito. Es evidente que conforme los menguamos deben de saber no solo correr, sino también escalar y posiblemente nadar, quizá les sea totalmente imposible avanzar más o menos en línea recta y deban de dar amplios rodeos a obstáculos que retrasen mucho su avance, incluso puede ser que en muchos lugares debieran de abandonar la prueba ante la imposibilidad de seguir adelante por obstáculos insalvables. Ello salvando que sería imposible menguarlos a tamaños pequeños equivalentes a moléculas, átomos y menos, porque su naturaleza quedaría desnaturalizada. Tan solo existirían imaginariamente. Eso es una divergencia entre lo que se puede hacer matemáticamente y lo que es el mundo real. Matemáticamente podemos tender hacia el infinito procesos o hacia cero tamaños y en la vida real no, siempre hay límites.
Existen formas matemáticas que, como nuestro trayecto recorrido con una supuesta tortuga y un supuesto Aquiles infinitesimal, tienen una longitud infinita en cualquiera de sus partes, porque en todas ellas hay guijarros, granos de arena, aristas, polen, bacterias y átomos y cualquier división subatómica y menor todavía. Esas formas matemáticas seguramente sean fractales. En la Naturaleza hay muchas cosas que se asemejan a los fractales matemáticos que también llamamos fractales, pero no hay que confundir un fractal de la vida real con la forma matemática que lo aproxima, al igual que secciones de un plano matemático no son una pared, un suelo o un techo, o una esfera matemática no es una bola de cristal o una pelota, o un dado no es un cubo matemático. Las cotizaciones son fractales, pero debemos entenderlas como fractales de la Naturaleza, por más que empleemos cifras y gráficos en ellas.
Pensar en una distancia que puede ser fraccionada y cualquiera de las fracciones nuevamente fraccionada y así, recursivamente; considerar que hay un proceso infinito, puede ser que no se le ocurriera primero que nadie a Zenón, pero desde él sí que ha habido tal pensamiento. Una distancia no es el recorrido de una forma, como se ha visto con los menguantes Aquiles y tortuga. Una forma mide según la precisión de la vara de medir que usemos y cómo la empleemos. Si para medir la distancia a recorrer de, por ejemplo, un pueblo a otro, empleamos telémetros usando postes cada kilómetro obtendremos una medición distinta a la que nos saldría si contásemos con una rueda de medir (odómetro), e incluso habrá variaciones con distintos odómetros según el tamaño de su rueda. Ruedas más pequeñas se adaptan más al terreno y en consecuencia darán mayores mediciones que ruedas más grandes. Distancia no es lo mismo que trayecto o recorrido, por más que este se quiera hacer en línea recta. Cuanto más pequeña es la unidad de medición del instrumento con el que medimos más se adapta al recorrido y da mayores mediciones que un instrumento que emplee unidades de medición más grandes. Si una forma matemática se puede recorrer, es decir, se puede medir una trayectoria en ella, hemos de considerar que las hay cuya medición da como resultado infinito, aunque tales objetos matemáticos estén entre distancias finitas, ocurriendo igual con una porción de ellos.
La longitud de Planck u hodón es la distancia en la que los físicos esperan que la geometría clásica deje de funcionar en el espacio. Por debajo del hodón cualquier medición deja de ser reputada debido a la aparición de efectos debidos a la gravedad cuántica. En la geometría euclidiana se considera que el espacio es continuamente divisible, pero cuando se llega a divisiones por debajo de la longitud de Planck esta divisibilidad deja de tener sentido en el mundo real y el espacio pasa a tener un comportamiento cuántico, es decir, un comportamiento probabilístico, como ocurre al intentar determinar la posición de un electrón en un átomo. El tiempo tiene un mínimo medible, el tiempo de Planck o cronón, que es el tiempo que tarda un fotón, viajando a la velocidad de la luz en el vacío, en recorrer la longitud de Planck. Ahora hay teorías que contemplan tiempos muy por debajo del cronón, que consideran que está compuesto de una sucesión de instantes fijos, y que por tal vivimos en una especie de tiempo estroboscópico, un tiempo compuesto de instantánea tras instantánea, que postulan que el Universo sería una sucesión de estados fijos. Serían estas teorías algo así, para el tiempo, como la teoría atomista lo es para la materia, esa que Zenón no consideraba. El tiempo podría ser divisible hasta un punto ya indivisible.
Una cotización es poco comparable a una trayectoria de una curva que da como resultado una medición infinita, porque la regla de medir precio o la de medir tiempo no tienden a cero. Las cotizaciones tienen unidades mínimas que llamamos ticks y por debajo de los ticks no hay más que repetición del precio conseguido en el anterior tick sin ninguna negociación, siendo uno de los motivos por los que no se puede profundizar en división temporal y de precio en un proceso infinito. No existe un proceso de infinitas iteraciones creando detalle cada vez más pequeño porque tal detalle no existe entre tick y tick. Tienen otra característica las cotizaciones: sus saltos de continuidad, cosa que ocurre bien porque los precios posibles que pueda tomar están preestablecidos de unidad en unidad, de céntimo en céntimo, de milésima en milésima, etc., bien por los gaps que se producen, bien porque entre sesión y sesión transcurre tiempo. Que existan tales saltos no impide que tratemos las cotizaciones al igual que funciones matemáticas o de modo muy próximo a estas, basta con unir tick con tick mediante una línea y no considerar el tiempo que transcurre entre sesión y sesión. De ese modo la continuidad queda salvada. Dentro de una cotización tenemos distancias entre precios y distancias entre tiempos, pero no hay una distancia compuesta tiempo-precio desde un tick concreto a otro tick como en nuestro espacio real, porque no hay una métrica que conjunte tiempo precio. El precio y el tiempo no son magnitudes con las mismas características, aunque las representemos en ejes cartesianos. Una distancia en una representación de una cotización entre un precio y tiempo primero y un precio y tiempo segundo tan solo es una distancia en la representación. Si que hay distancias reales en precio (en la proyección de la cotización al eje de precios), la diferencia de precio entre el negociado en un tick y el negociado en cualquier tick sí que es una distancia verídica. Sobre el precio considerado de tal modo (como proyección de la cotización al eje de precios) existe una métrica. Lo mismo ocurre con el tiempo siempre que tomemos periodos iguales y consideremos la misma cotización en cada periodo igual al último producido.
Lo ínfimo en las cotizaciones no es tan diminuto como podría pensarse y se puede observar en un gráfico de tick, por más que en un solo tick puedan reunirse varias negociaciones. Por ello, las cotizaciones, fractalmente hablando, al considerarlas como procesos iterativos de transformaciones contractivas azarosas, tienen pocas iteraciones, ya que con tan solo unas pocas se alcanza el más fino detalle tick a tick. Cualquier iteración que intente proporcionar más detalle por debajo del menor tiempo entre negociación y negociación tanto de una ficticia cotización o a una real reconstruida al hallar el sistema de funciones iteradas que la construyeron no tiene sentido, como tampoco la que aporte más detalle entre precio posible y precio posible. En los fractales matemáticos sí es posible considerar infinitas iteraciones y trayectos infinitos, pero entre los fractales reales, los de la Naturaleza, están las cotizaciones y en ellas no hay distancias en precio ni en tiempo que tiendan a ser cero, en ellas no hay infinitesimales y, por consiguiente, no hay ni puede haber iteraciones infinitas.
Más adelante veremos los sistemas de funciones iteradas, que siempre se consideran contractivas para construir fractales y cómo el teorema del collage, base de la compresión fractal de imágenes entre otras cosas, postula que, teniendo una imagen (y un gráfico de una cotización lo es) existe un sistema de funciones iteradas que reproduzcan tal imagen de modo tan cercano a ella como queramos. Es decir, que con un error tan pequeño como deseemos se puede encontrar un sistema de funciones iteradas capaz de reproducir la imagen. Considerar procesos iterados contractivos y que estos se pueden hallar es causa de no encontrar procesos expansivos en las cotizaciones de cara a su futuro. Una vez el futuro existe, esos procesos expansivos serán considerados conforme a lo ya sabido matemáticamente como contractivos en el hasta ahora y el pasado de ellas.