Conjuntos borrosos
Los conceptos de conjunto y elementos los tenemos todos interiorizados y se decía que no requerían explicación. Un conjunto es una reunión de elementos que actúa como un objeto independiente. Se funcionó por mucho tiempo sin más explicaciones hasta que aparecieron definiciones axiomáticas. También, el concepto de pertenencia de un elemento a un conjunto no requería ninguna explicación, o el elemento es del conjunto o no lo es. Desde Aristóteles que formuló el principio del tercero excluido que se ha venido pensando así: si existe una proposición que afirma algo y otra que dice lo contrario una de las dos ha de ser verdad y no cabe una tercera. En cuanto a la pertenencia de un elemento a un conjunto o pertenece a él o no pertenece y no cabía ninguna otra opción, Desde esa lógica se ha creado toda el Álgebra, toda la Geometría, toda la Topología y otras disciplinas.
Los conjuntos, como los conocíamos, han sido inmutables hasta que la necesidad ha hecho que sean mutables, desechando el principio del tercero excluido. Los conjuntos borrosos son siempre subconjuntos y fue Lotfi Asker Zadeh, matemático, informático, ingeniero, profesor y científico quien en 1965 creo la Teoría de los subconjuntos difusos, ahora llamada Teoría de los conjuntos difusos. La necesidad se llama “expresar matemáticamente objetos imprecisos” encontrando que el pensamiento humano, cosa que los ordenadores no tienen se puede modelar mediante estos conjuntos y la lógica que de ellos se deriva. A los conjuntos tal como los conocíamos se les llama conjuntos clásicos en contraposición a los conjuntos borrosos. Los conjuntos vagos, borrosos o difusos son la base de la lógica difusa y de los procesos de aprendizaje humanos tanto en lenguaje como en otros campos de inteligencia. La lógica difusa permite la llamada Inteligencia Artificial en los ordenadores y que estos vayan aprendiendo y “razonando” de modo algo semejante a como lo hacemos nosotros, por lo menos en algunos aspectos. El Álgebra, la Geometría, la Topología y otras disciplinas se amplían con los conjuntos borrosos. A Lotfi Asker Zadeh se le considera el padre de la Teoría de la Posibilidad nacida de la lógica difusa, lo que viene a ser una teoría sobre la probabilidad difusa, sobre sucesos difusos. En un conjunto clásico, los elementos pertenecen él o no pertenecen. En los conjuntos borrosos los elementos pertenecen a él con un nivel de pertenencia. Si se define una aplicación de pertenencia de los elementos que asigna un 1 a la pertenencia y un 0 a la no pertenencia, todos sus elementos de un conjunto clásico serán marcados con un 1. Por otra parte, y siguiendo con conjuntos clásicos, si de un conjunto tomamos elementos según un criterio formaremos un subconjunto. Habrá, seguramente, elementos del conjunto original que pertenezcan al subconjunto y que estarán marcados con un 1 de pertenencia al subconjunto y otros elementos del conjunto original que no pertenezcan al subconjunto y estarán marcados con un 0 en la aplicación de pertenencia de elementos al subconjunto.
En un conjunto borroso los elementos tienen un grado de pertenencia entre 0 y 1 a él. Pueden pertenecer totalmente, pertenecer parcialmente o no pertenecer. Así, por ejemplo, el conjunto de las plazas de mi ciudad es un conjunto que admite calificaciones en cuanto a tildarlas de bonitas entre 0 y 1. De entre todas las plazas tenemos el conjunto borroso PLAZAS MÁS BONITAS, en el que la plaza A puede tener un grado de pertenencia 0,98, la B de 0,95, la C de 0,90, la D de 0,88, la E de 0,82, y F de 0,79 para un individuo concreto. Este individuo, en su cabeza, ha catalogado todas las plazas que hay en su ciudad y creando ya un primer conjunto borroso:
En su cabeza ha considerado “más bonitas” ciertas características y su estimación ha sido proporcionar como plazas más bonitas las que ha puntuado por encima de 0,75. Así y todo, la borrosidad no tiene un punto de corte exacto y la plaza G con un grado de pertenencia de 0,74 no está entre las plazas más bonitas porque quizá en la mente del individuo “más bonitas” ya no la incluye.
El conjunto borroso PLAZAS MÁS BONITAS DE MI CIUDAD (en adelante PLAZAS MÁS BONITAS) supone un referente, un conjunto universo, que en este caso es el conjunto PLAZAS DE MI CIUDAD. Todo elemento de este conjunto universo ha tenido que ser valorado entre 0 y 1 para poder hallar el conjunto borroso PLAZAS MÁS BONITAS.
Los humanos sabemos interpretar a qué nos estamos refiriendo con el conjunto PLAZAS MÁS BONITAS de mi ciudad, pero las máquinas no tenían modo de que retuviesen y trabajasen estas sutilezas de nuestro lenguaje humano tan habituales. ¿Qué es ser más bonitas? ¿Qué parámetros de comparación debe de emplear un ordenador para decidir si es más bonita o no llega a ser más bonita una plaza? Quizá haya plazas con grados de ‘más bonita’ por un parámetro y otras por otros, y también que ese conjunto borroso para una persona sea distinto que el que supone otra persona, incluso puede ser el resultado de haber consultado a todos los habitantes de mi ciudad sobre este asunto y considerar bonitas las que sean votadas por al menos el 50%, o por qué no el 70 %. La plaza G no está en el conjunto borroso del individuo, pero quizá para una máquina programada para considerar el concepto “más bonitas” sí debiera de estar, pues su grado de pertenencia para tal máquina sería de 0,74 y por sus algoritmos le parecería alto.
Un conjunto borroso comporta ser parte de otro conjunto llamado universal. Tal conjunto universal no es el Universo, sino el conjunto referente al que el conjunto borroso califica o fija una propiedad, entre otros supuesto (El conjunto PLAZAS DE MI CIUDAD es el conjunto universal para el conjunto borroso PLAZAS MÁS BONITA). Los elementos del conjunto borroso han de reflejar el grado de pertenencia y por ello se escriben como pares (elemento, grado pertenencia). Así, poniendo otro ejemplo, del conjunto universal A={alumnos de la clase 3º B del centro X}, se puede obtener un conjunto borroso de él como pueda ser B={los más altos de la clase}. No sabemos siquiera cuántos elementos tendrá B sin fijar más que esa propiedad, aunque si conociéramos a los alumnos de tal clase, de inmediato crearía cada persona conocedora de ellos un conjunto borroso en su cabeza. Vamos a considerar que los más altos de la clase para uno de los alumnos quedan representados como se expresa a continuación.
De los conjuntos borrosos nace una nueva lógica que permite simular nuestro pensamiento y su aprendizaje en los ordenadores, empleándose para un sinfín de cosas más. Estos conjuntos los voy a emplear de un modo muy simple en el cálculo de objetivos de precio y de tiempo en las cotizaciones, que son esos máximos y mínimos que las cotizaciones alcanzan debidos, generalmente, a las cuasi transformaciones afines expansivas que iré definiendo y que son las constructoras del futuro multifractal de las cotizaciones. No creo que las cuasi transformaciones afines sean la totalidad de procesos intervinientes, pero sí considero que con conjuntos borrosos va a ser muy fácil interpretar qué ocurre en las cotizaciones para que evolucionen como multifractales y que de algunos modos sean predecibles distintos lugares a los que van a tender a ir a marcar máximos o mínimos.
Los conjuntos borrosos son una ampliación de los conjuntos clásicos y cualquier conjunto borroso en el que todos sus elementos tengan un grado de pertenencia a él de 1 es un conjunto clásico. Los conjuntos clásicos, consecuentemente, son parte de los conjuntos borrosos. Con la lógica difusa ocurre lo mismo, que engloba a la lógica nacida de los conjuntos clásicos. Tenemos que en los conjuntos borrosos hay subconjuntos, uniones, intersecciones, relaciones, implicaciones, negaciones, productos cartesianos… entre ellos o con conjuntos clásicos.
Números borrosos
No solo hay conjuntos borrosos, sino que también existen números borrosos y estos son necesarios para exponer totalmente cómo las cuasi transformaciones afines que veremos conducen cada cotización hacia diversas zonas borrosas de cotización en las que es muy probable que se produzcan máximos o que se produzcan mínimos.
Si digo: “Tendrá 30 años” me estoy refiriendo a un periodo de tiempo indeterminado alrededor de 30 años y que según el contexto puede ser hasta muy amplio. En este caso 30 es un número borroso. Si a lo que me estoy refiriendo tiene 29 años he acertado con su edad, al igual que si tiene 31, 30, incluso 27 o 28 o 32 o 33. Nuevamente, para los humanos es muy fácil entender “tendrá unos 30 años” y quizá los ordenadores, pudieran entender en su programación ese número 30 y un entorno alrededor de él, pero ¿qué entorno deben de usar? Quizá 33 años escape del entorno programado en un ordenador y rechace que tenga unos 30 años, y, en cambio, un humano acepte que es correcto. Incluso puede haber personas que consideren que es correcto y otras que no.
El entorno de un número borroso hay que definirlo, si es que se puede, de alguna manera o quedar implícito en el contexto. Matemáticamente son números que se parecen a las magnitudes que se dan con cierto error, como cuando se pesa una sustancia en una balanza y se da como resultado 23 ±0,1 gramos. No siempre es fácil considerar cómo es el entorno de un número borroso, pero hay ocasiones en las que hasta se puede dibujar su forma. Un entorno de un número borroso es convexo y el número (en nuestro ejemplo 30) está en la zona de máxima probabilidad. Nuevamente aparece probabilidad que para nuestro caso es del 100 % para 30, aunque matemáticamente es 1 ya que se expresa en tantos por uno. 29 y 31 también pueden tener una probabilidad de 1 y quizá 28 y 32 ya tan solo de 0,4. Es lo que se aprecia en el gráfico
”Tendrá 30 años” supone el número borroso 30 con una función de pertenencia, que define un intervalo, continua y convexa. En este este caso tal función de pertenencia tiene forma de trapecio isósceles, pero puede ser cualquier otra forma convexa.
Un número borroso es en realidad un caso particular de conjunto borroso definido sobre los números reales R. Recordemos que un conjunto borroso siempre tiene un conjunto referente universal, en este caso el de números reales, siendo el borroso subconjunto de él (de R). La función de pertenencia del número borroso es continua, convexa y definida en un intervalo. En la vida real, como son los procesos de la Naturaleza, tal función de pertenencia, tan solo en ocasiones, se puede aproximar matemáticamente y en las cotizaciones, como procesos de la Naturaleza podemos. La forma que toma la representación de la función de pertenencia de los elementos del conjunto borroso numérico adjetiva cómo es el número borroso. En nuestro ejemplo “Tendrá 30 años”, 30 es un número borroso trapezoidal isósceles.
Dos números borrosos. El primero triangular y el segundo con forma de campana. La forma en que se representa la función de pertenencia del conjunto borroso da nombre a la forma del número en cuestión.
En la construcción fractal de las cotizaciones los números borrosos aparecen como elementos de conjuntos borrosos, aportando cierta imprecisión a cada posible objetivo de precio o de tiempo. Así, si un objetivo concreto de precio a conseguir es, por ejemplo, la posibilidad de alcanzar 3,50, tendremos en vez de un precio posible concreto una franja de precios posibles alrededor de 3,50 como resultado.
Dos tipos de función de pertenencia o de números borrosos se presentan, según ocasiones, en las cotizaciones. Ambas tienen una forma que he esquematizado aquí como trapezoidal. En la primera el número que identifica al borroso está en el centro del intervalo de la función de pertenencia, siendo un trapecio isósceles y en la segunda forma está inmediatamente pegado al inicio del intervalo, siendo un trapecio escaleno.
Los elementos de los conjuntos borrosos que intervienen en la construcción fractal son números borrosos de uno de estos dos tipos dibujados, según qué estructura fractal. Uno es un trapezoide isósceles y el otro un trapezoide con muy poca borrosidad por la izquierda y mucha por la derecha.
De entre las diversas operaciones que se pueden realizar con números borrosos nos interesa el producto de un número no borroso por uno borroso, cuyo resultado es el producto de ambos números y el intervalo de borrosidad queda multiplicado también.
Del producto de un número no borroso por uno borroso se obtiene un número borroso. Aquí vemos el producto del número borroso n por el número 3. El intervalo de borrosidad de n queda aumentado a tres veces el tamaño del de n y el número borroso resultante es 3n.