Concentraciones de probabilidad

Estamos acostumbrados en nuestra experiencia diaria a situaciones en las que todos los elementos de un espacio muestral tienen la misma probabilidad (sorteos, loterías, rifas, juegos, etc.) y puede parecernos mucho menos frecuente que haya espacios muestrales en los que algunos elementos tengan más probabilidad que otros de ocurrir, aunque sea algo cotidiano. Si por ejemplo vamos a lanzar un dado, el espacio muestral es Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, teniendo cada elemento 1/6 de probabilidad de que el siguiente suceso ocurra en él, podríamos, al asociar cada elemento con su probabilidad, crear pares de un elemento del espacio muestral y su probabilidad. Tendríamos para el lanzamiento de un dado los siguientes pares: (1, 1/6), (2, 1/6), (3, 4/6), (5, 1/6), y (6, 1/6). La suma de probabilidades de todos los elementos del estado de sucesos es 1. Esta asociación de elemento con su probabilidad la usaremos más adelante aprovechando que los elementos de los conjuntos borrosos ya están construidos así.

Cuando combinamos sucesos, como es el caso de lanzar dos dados a la vez y sumar sus resultados, estamos haciendo un producto cartesiano de los espacios muestrales de ambos dados. Tenemos, por tanto, [Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}] X [Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}]. Como en este caso sumamos puntuaciones tendremos 36 sumas que son todas las posibles combinaciones de puntuaciones.

Aunque existan en el producto cartesiano de los espacios muestrales de este ejemplo 36 sumas, en cambio, el espacio muestral de tal producto cartesiano tiene tan solo 11 elementos. ΩXΩ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, pero en ellos existen concentraciones de probabilidad. Así la concentración máxima la tiene el elemento 7 con 6/36 de probabilidad, le siguen el 6 y el 8 con 5/36 de probabilidad cada uno, el 5 y el 9 cuentan con 4/36 de probabilidad cada uno, el 4 y el 10 tienen 3/36 de probabilidad cada uno, el 3 y el 11 están dotados de 2/36 de probabilidad cada uno y por último el 2 y el 12 son los que menos pueden salir con una probabilidad de 1/36 cada uno. Si sumamos todas las probabilidades de todos los elementos obtenemos el resultado esperado 36/36 = 1

Con este ejemplo de los dos dados vemos que en cada lanzamiento se repiten las mismas probabilidades concentradas. Se puede calcular la probabilidad de que ocurra situaciones combinadas como que en un lanzamiento se sume 9 y que en el siguiente lanzamiento sume 11, o que en dos lanzamientos seguidos salga un 9 o un 11 en ambos, pero no se puede calcular que en un lanzamiento único salga un 9 y un 11 a la vez, no existe manera de hacer ese cálculo y además es imposible que ello ocurra. Sin embargo, quitando el azar y volviendo a los procesos que intervienen en el fenómeno de memoria de largo plazo en las cotizaciones y asimilándolas al lanzamiento de dos dados a la vez, sí que ocurre en ellas que con un solo lanzamiento salga un 9 y un 11. Por supuesto que existe una cierta probabilidad de que salga 9, otra cierta probabilidad de que salga 11 y una cierta probabilidad de que salgan las dos cosas a la vez. En las cotizaciones hay elementos de los que se derivan “espacios muestrales”, por llamarles de alguna manera, cuya “probabilidad total”, por llamarla de alguna manera, es mayor que 1 y como eso es un imposible con los espacios muestrales recurro a conjuntos borrosos para que explicar fácilmente qué ocurre y de un modo sencillo.

Ciertamente podría definir un espacio muestral en las cotizaciones para un hecho de los varios y diversos que hay. Supongamos que ante un hecho la cotización pueda marcar máximos relativos en A y/o en B y/o en C y/o en ninguno de ellos. Tendríamos el siguiente espacio muestral para el siguiente suceso tras el hecho acaecido en la cotización:

Ω tiene 8 elementos y cada uno de ellos cuenta con distinta probabilidad de ocurrir. En las cotizaciones hay espacios muestrales nacidos 6 posibles lugares a los que la cotización puede ir a parar marcando o máximos o mínimos, pudiendo ir a cualquiera de ellos y sus combinaciones, así como a ninguno, un espacio muestral de 64 elementos, que además tiene dos posibles traslaciones, por lo que estamos hablando no de solo 6 lugares, sino de 18 y ello supone un espacio muestral de 262.144 elementos cada uno de ellos con una probabilidad distinta, es decir, que hay elementos que concentran más probabilidad que otros. Es tremendamente más sencillo y comprensible introducir conjuntos borrosos y números borrosos para que se comprenda qué ocurre, además que así se facilita explicar también cómo son una especie de combinación de transformaciones afines a las que me referiré como cuasi transformaciones afines dotadas de probabilidad