Reglas sencillas (juegos que no son juegos)

La quinta propiedad a la que aludía Falconer para intentar definir qué es una estructura fractal: “Que el algoritmo que sirve para describirlo sea muy simple, y posiblemente de carácter recursivo”, no es exclusivo de los fractales por más que en su intento de su definición bastase con que cumpliesen al menos una de las cinco propiedades. Reglas sencillas o algoritmos sencillos no bastan para que lo que surja de tales reglas sea un fractal. Como curiosidad planteo el juego de la vida, que no crea fractales, pero sí crea “vida, evolución o desplazamientos entre otras cosas”. El juego de la vida no es solo una curiosidad como veremos acto seguido.

Por otra parte, hemos visto la creación de fractales como un proceso iterativo por funciones iteradas contractivas o transformaciones afines iteradas contractivas (que son también funciones), pero hay otros métodos de creación de fractales con reglas sencillas, por procesos iterados no contractivos, como los creados por el juego del caos. Este modo de crear fractales comparte con las cotizaciones que se van creando paso a paso, en realidad punto a punto, uno detrás de otro como los ticks de las cotizaciones y no como los fractales vistos en los que cada iteración interviene en muchos lugares a la vez.

El juego de la vida

Varios años antes de que Mandelbrot acuñara el término fractal, John Horton Conway ideó un experimento matemático al que llamó “el juego de la vida” en 1970. Este juego no crea fractales, pero con unas reglas muy sencillas aparecen formas que podría decirse que nacen, viven, mueren, subsisten… y por ello el nombre del “juego”. En un tablero cuadriculado se establecen las siguientes reglas:

• Se marcan algunas cuadrículas al azar que llamaremos células.
• Cada célula con una única o con ninguna vecina “muere de soledad”, desaparece en la siguiente iteración.
• Una célula con dos o con tres vecinas sobrevive en la siguiente iteración.
• Una cuadrícula vacía rodeada de tan solo tres células engendra una nueva célula en la siguiente iteración.
• Cada célula con cuatro o más vecinas muere por superpoblación, desaparece en la siguiente iteración.

Con el juego se llegan a formar patrones estáticos, patrones recurrentes osciladores y patrones que se trasladan por el tablero que llamó naves espaciales.

Se fue descubriendo que se pueden crear operadores and, or y not, así como contadores y crear una estructura de máquina con una potencia de máquina universal de Turing. Se puede crear tal máquina que sería como un ordenador con memoria ilimitada. Turing fue el matemático que desencriptó la máquina nazi Enigma para Reino Unido en la II Guerra Mundial y el ideador de su máquina sobre la que están basados todos los ordenadores.

Con reglas muy sencillas y elementos simples se crea complejidad, vida, organización, muerte y nacimiento.

El juego del caos: Otro proceso de crear fractales

A pesar del nombre no se trata de un juego y su parentesco con la Teoría del caos lo es tan solo de nombre. Con unas reglas muy sencillas aparece orden en lo que se suponía iba a ser un desorden, porque el azar lo consideramos desorden y sin embargo de él nace orden. Se pueden generar fractales, sin emplear un sistema de funciones contractivas iteradas, por sencillos procesos que crean puntos, siendo los más famosos por este método el triángulo de Sierpiński, su alfombra, el helecho fractal de Barnsley y la curva de Koch, aunque el juego permite crear muchos otros. Su generación es a base de puntos creados por azar al aplicarle una sencilla o unas sencillas reglas infinitas veces. Los puntos que se generan caen dentro del fractal, por ello el proceso es un sistema determinista, estos puntos solo pueden estar en la figura y no fuera por más azarosa que sea su generación. Algunos fractales creados con el juego del caos también pueden ser creados por sistemas de funciones iteradas y el fractal es el atractor del sistema. Aquí no hay sistema de funciones iteradas y el resultado en esos fractales que admiten los dos modos de creación (incluso más modos de creación) no sé si podrían llamarse atractores del juego del caos. Estos fractales se crean punto a punto y si entre un punto y el siguiente marcásemos un lapso de tiempo, su construcción evolucionaría como las cotizaciones. Se podría asignar a cada tiempo un punto creado. Tendríamos pares (tiempo, lugar en el espacio) como podrían ser (t_i, (x_i, y_i)) y suponer como en el caso de las cotizaciones que estemos delante de una aplicación de un conjunto tiempo en un conjunto de puntos en un espacio de 2 dimensiones x e y.

El triángulo de Sierpiński es construido en el juego del caos partiendo de tres vértices que podemos llamar A, B y C de un hipotético triángulo equilátero. El triángulo de Sierpiński lo dibujamos punto a punto, siendo el azar el que decide de qué vértice iniciamos el proceso para comenzar a dibujar puntos. Supongamos que el azar lo decide el lanzamiento de un dado. Podemos establecer que, si sale 1 o 2 consideramos el vértice A, si sale 3 o 4 consideramos el vértice B y si sale 5 o 6 consideramos el vértice C. Las reglas para obtener el triángulo de Sierpiński por este juego son:

• Por algún método regido por el azar, como el lanzamiento de un dado, se elige el vértice desde el que iniciar la secuencia de puntos que se irán generando.
• Por azar, quizá con un dado, se elige de nuevo un vértice y dibujamos el punto medio de la distancia desde donde estábamos situados y el vértice que el azar ha elegido en esta ocasión.
• Repetimos la regla anterior indefinidamente.

Otros muchos fractales se pueden generar mediante este juego del caos de un modo semejante a como se construye el triángulo de Sierpiński. En el caso de este triángulo se parte de tres vértices de un supuesto triángulo equilátero, pero también podrían elegirse 3 vértices de un triángulo cualquiera y conseguiríamos una figura rellenada de modo semejante al de Sierpiński. Al elegir tres vértices que no formen un triángulo equilátero conseguimos un sesgo del de Sierpiński. Se pueden construir otros fractales partiendo de dos, cuatro, cinco… vértices iniciales y cambiando la regla de obtención de puntos, incluso se pueden introducir cálculos de giro en la rutina de obtención del siguiente punto y otras alteraciones.

El juego del caos es determinista por más que el azar decida hacia qué vértice va a producirse el siguiente punto, es un sistema iterativo, pero en él no intervienen transformaciones contractivas, sino que de un punto se salta a otro punto, de este a otro y así sucesivamente infinitas veces. Evidentemente para poder graficar tales fractales hemos de detener el proceso en algún momento en el que ya se vea claro cómo serán. No disponemos de tiempo infinito para su construcción, ni podemos recrear puntos de dimensión topológica 0. El azar interviene, pero de alguna manera queda doblegado.

Diversos fractales creados con el juego del caos. Siguiendo el orden de izquierda a derecha y de arriba abajo tenemos la alfombra de Sierpiński partiendo de 8 vértices formada con 800.000 puntos y otros cinco fractales generados desde 5, 2, 3, 3 y 3 vértices y con 100.000 puntos. Los últimos cuatro fractales incluyen rotaciones.

¿Puede ocurrir que en la construcción de cada uno de los fractales creados por este método se pueda repetir un punto una vez se abandona el vértice inicial? No sé si existe alguna demostración, pero mucho me temo que eso no sea así, que no haya repeticiones y que tras infinitas iteraciones a cada iteración le corresponde un único punto de los infinitos que forman el fractal. De no existir repeticiones ha de haber una relación uno a uno entre cada iteración y cada punto alcanzado. Algo de azar queda, el que decide hacia qué vértice se dirige el siguiente punto. Eso significa que si, por ejemplo, en la alfombra de Sierpiński, que para construirla se parte de 8 vértices, desde cada punto solo existe la posibilidad de acudir a otros únicos posibles 8 puntos, el azar decide a qué punto de los 8 ir excluyendo los otros 7, pero esos otros 7 puntos serán alcanzados en algún momento. Con infinitas iteraciones todo es posible, pero obligatoriamente se crean futuros distintos obligados a pasar por los otros 7 puntos.

Un punto tiene dimensión topológica 0, un segmento, una línea, una curva tienen infinitos puntos y su dimensión topológica es 1. Por ejemplo, por este juego del caos se puede construir la curva de Koch, que tiene una dimensión de Hausdorff-Besicovitch es 1,26186…, o la alfombra de Sierpiński que tiene una dimensión de Hausdorff-Besicovitch de 1,89278… e infinidad de otros fractales cada uno con su dimensión. Hasta ahora habíamos vistos fractales que situaban su dimensión fractal en un rango de solo un salto de dimensión entre la dimensión topológica de su iniciador o su generador y la euclidiana que contiene el fractal. En estos fractales creados por puntos el rango es de dos saltos de dimensiones, de puntos con dimensión topológica 0 se construyen formas que existen en una dimensión topológica 1 y euclidiana 2 y eso es algo que tiene cierta semejanza con la construcción tick a tick de las cotizaciones, que se generan con la dimensión 0 de los ticks y que tienen una dimensión fractal entre 1 y 2 en un espacio euclídeo de 2 dimensiones.

El helecho de Barnsley fue ideado por el matemático Michael Barnsley en 1988 basándose en un sistema iterado contractivo de 4 transformaciones afines, pero por el juego del caos también puede ser creado. Sus reglas de construcción en el juego del caso también son muy sencillas:

• Se parte del origen de un sistema de coordenadas X e Y.
• Se lanza una moneda y si sale cara se dibuja un punto que diste 6 unidades en dirección noreste o lo que es lo mismo, se avanza hacia arriba 3 veces la raíz cuadrada de 2 (4,24264068711928…) y lo mismo a la derecha, si sale cruz se dibuja un punto que diste desde el actual 1/4 de la distancia al centro de coordenadas.
• Se repite el proceso indefinidamente.

¿Y qué tienen que ver todos estos fractales creados por el juego del caos con las cotizaciones? Pues su determinismo dependiente de sencillas reglas. Mandelbrot y desde él prácticamente todos los que han estudiado las cotizaciones como fractales, consideró que una cotización está formada por unas transformaciones afines en un proceso iterado contractivo, algo similar a la idea que tuvo Michael Barnsley al crear su helecho con 4 transformaciones y un proceso de funciones iteradas. Pero un proceso de puntos (ticks en las cotizaciones) puede ser determinista y formar fractales por sí sin que intervengan transformaciones afines contractivas. Si llamo n al número de iteración en la que se encuentre la construcción de un fractal en el juego del caos tendremos: que en el helecho de Barnsley al llegar a la iteración n se ha elegido un camino entre los 2ⁿ posibles, que en el triángulo de Sierpiński uno de los 3ⁿ posibles y en su alfombra uno de los  8ⁿ posibles. Matemáticamente el fractal queda construido en infinitas iteraciones, pero en esas infinitas iteraciones se ha creado infinito detalle que en el mundo real sobra. Ese infinito detalle está muy por debajo del hodón y del cronón, y en las cotizaciones, muy por debajo del tick, volviéndose a dar el mismo fenómeno que imposibilitaba a nuestros Aquiles y tortuga menguados a casi un tamaño de cero recorrer el trayecto de su carrera por infinitos obstáculos. Así que en las cotizaciones no habrá infinitas iteracioens. Si las cotizaciones se formasen de modo semejante, salvando las distancias de que no son un objeto matemático sino un proceso de la Naturaleza con caminos posibles como en el juego del caos, el futuro próximo recorrería uno de los caminos. Una cotización no se forma saltando a un punto futuro y después a uno pasado yendo a dibujar puntos haca delante y haca atrás, sino que se construye tick a tick y eso supone que su construcción ha de ser más compleja, sin vértices fijos y con muy pocos caminos en el futuro próximo; además, es multifractal y lo es en todo escalado. Eso comporta una nube de posibles caminos futuros para cada fractal del multifractal en todo escalado y que tales caminos se combinen y se coordinen en la formación de la cotización, en la formación de sus máximos y mínimos.