El concepto de dimensión ha evolucionado y los fractales tienen dimensiones intermedias entre las que veníamos considerando de tan solo números enteros. Estar entre una dimensión topológica y la dimensión euclidiana del espacio que contiene un fractal supone rugosidad.
Consideremos un trozo de papel cuadrado, de por ejemplo 20 x 20 cm. La superficie de ese papel, suponiendo que fuese totalmente lisa, tiene una dimensión topológica de 2 y está en un espacio euclídeo de 3, porque la podemos tocar, manejar, etc. y mide 400 cm2. Ese papel liso lo podemos arrugar, hacer una bola y mantendremos que mide 400 cm2 y que su dimensión topológica sigue siendo 2, a su vez entendemos mejor que está en un espacio euclídeo de 3 dimensiones porque la bola de papel parece un objeto de dimensión 3. Basta desarrugarlo y alisarlo para verificar de modo sencillo que sigue midiendo lo mismo que antes de manipularlo. Podemos repetir este ejercicio con una lámina de metal del mismo tamaño, 20 x 20 cm, que sea blando, dúctil y maleable como el estaño o el papel de aluminio. No vamos a arrugar tal lámina, pero sí que la deformaremos en el interior del cuadrado a base de presionar con algún instrumento, de modo que estire por frotamiento y presión, que se formen distintas elevaciones y depresiones tal y como se hacen en el repujado artístico. Con esta maniobra conseguimos bultos y surcos en la lámina, aunque los bordes de la lámina de metal siguen midiendo 20 cm cada uno, dibujando un cuadrado perfecto. Sabemos que su superficie deformada es ahora mayor que 400 cm2. Topológicamente estas deformaciones no implican ningún cambio en cuanto a su dimensión, la lámina sigue teniendo una dimensión topológica de 2. Podemos deformar muchísimo más el metal y después pasarlo por una prensa para volver a aproximarlo a una lámina. No va a ocurrir como con el papel, el cuadrado de la lámina seguirá midiendo más de 400 cm2, pero estará aplastada con arrugas y pliegues. Esas deformaciones en nuestra lámina de metal no pueden ser considerada del mismo modo a como lo eran las de la hoja de papel. Nuestra lámina de metal aplanada tiene más dimensión fractal que la hoja de papel alisada, aunque topológicamente ambas tengan dimensión 2. Algo ha evolucionado en la lámina de metal saliendo de 2 dimensiones y pasando a tener 2 coma algo dimensiones. Cuanto más trabajemos la lámina de metal y más rugosidad creemos, más dimensión ocupará. Supongamos que el metal fuese oro puro y que llegamos a estirar algunas zonas del interior del cuadrado hasta solo algunas micras de espesor, como ocurre con los panes que de él se hacen, llegaríamos a tremendas rugosidades con mediciones mucho mayores que los 400 cm2 iniciales. La bola de papel parece una esfera deforme que tendría dimensión 3, en cambio, sabemos que es una hoja que tiene una dimensión topológica de 2, pero cuando es una bola su dimensión de Hausdorff-Besicovitch pasa de 2 a ser 2,5 aproximadamente.
La rugosidad de las cotizaciones como curvas fractales viene medida por su dimensión fractal que se deduce hallando el exponente de Hurst o bien el índice de afinidad, aunque estos parámetros cambien constantemente según qué zona o tamaño midamos. Cuando este exponente se acerca a 1 ocurre como con la hoja de papel alisada que prácticamente tiene la misma dimensión fractal que su dimensión topológica. Cuando H se acerca a 0 su dimensión fractal se acerca a 2, la rugosidad es grande y el efecto es parecido, pero más exagerado que el de la lámina de metal dúctil y maleable que tras ser tremendamente deformada y estirada, después por aplastamiento no vuelve a simular la forma original, su superficie ha crecido ocupando en realidad un cuadrado de 20 x 20 centímetros. Nuestra lámina tendrá rugosidad, quizá no tanta como nuestros pulmones que ya vimos que su dimensión fractal es de 2,97, ocupando casi por completo el espacio euclídeo que los contiene.
En las cotizaciones y en otros fractales como son las turbulencias o las series temporales del caudal del Nilo y otros muchas, la rugosidad no es uniforme. Aparecen dos fenómenos que Mandelbrot llamó efecto José y efecto Noé. El efecto José consiste en el aglutinamiento de, por ejemplo, las crecidas de los ríos, de los años lluviosos o de épocas de volatilidad alta en una cotización, y la concentración, también, de las épocas de escasez de caudal, de sequía o de poca volatilidad. Ese efecto José era la preocupación de Hurst por la que emprendió el cálculo de rango reescalado para calcular la construcción de una presa en el Nilo. El faraón tuvo el sueño de las siete vacas y las siete espigas y José lo interpretó como que iban a venir a Egipto siete años de abundancia seguidos por siete años de carencias. En las cotizaciones se repite ese fenómeno y de la interpretación de José del sueño del faraón, toma el nombre el aglutinamiento y concentración de hechos semejantes. Hubo un gran diluvio sobre la Tierra y Noé estaba preparado con su arca para sobrevivir a la catástrofe con su familia y con una pareja de animales de cada especie. El fenómeno Noé es un hecho muy exagerado, un dato en la cola derecha de la distribución que afecta seriamente a la media, incluso puede ser un Cisne Negro de los descritos por Nassim Taleb, que muchas veces, en las cotizaciones, son los estallidos de burbujas. Si volvemos al ave de un vuelo de Lévy, es un desplazamiento tremendamente exagerado o un grupo de desplazamientos muy seguidos tremendamente exagerados. En el caso del Nilo sería una súper inundación de las que se dan muy de tarde en tarde o una falta de caudal extrema.
Las cotizaciones, recapitulando mucho de lo expuesto, son fractales de la Naturaleza con dimensión topológica 1 dentro de un espacio euclídeo de dimensión 2, con una dimensión fractal entre 1 y 2, que pueden ser modelizadas matemáticamente. La dimensión de Hausdorff-Besicovitch es fácil de hallar, con el exponente de Hurst, así como otras dimensiones fractales. Si una cotización fuese monofractal tanto el exponente de Hurst o la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos informaría del carácter persistente o antipersistente de la cotización o, dicho de otro modo, de su memoria larga o su memoria corta de largo plazo. Ha habido modelos matemáticos para las cotizaciones erróneos basados en el movimiento browniano, después gracias al estudio de Mandelbrot los ha habido con el movimiento browniano fraccionario y por último con los vuelos de Lévy. Todos ellos adolecen de no casar con la realidad. Como lo último eran los vuelos de Lévy había que no matar al ave que volaba o al tiburón que buscaba presas, pues truncando el que en algún momento se pueda producir un hecho de medición infinita o tan grande que agote y mate al ave o al tiburón se elimina la varianza infinita que los vuelos de Lévy tienen, porque una cotización infinita es un imposible, ya que nadie podría comprar o vender una sola acción por un precio infinito. A los vuelos de Lévy para explicar cotizaciones les impiden que pueda haber un paso de tamaño infinito o exageradamente grande y los trucan de varios modos el que pueda ocurrir eso. Se tienen así los vuelos de Lévy truncados en distribuciones truncadas de Lévy, valga la redundancia. Esta nueva aproximación sigue no adaptándose a lo que ocurre, particularmente, en los mercados emergentes. De esa desadaptación se echa la culpa a la falta de arbitraje en ellos y en consecuencia se crean los nuevos modelos de Lévy truncados y normalizados. De por medio, Mandelbrot creó su método iterado de cartones para simular cotizaciones y también estableció que las cotizaciones eran multifractales, porque eran fractales en precio y fractales en tiempo, ello para adaptar sus cartones iterados a que pareciesen reales. La realidad multifractal de las cotizaciones es un poco distinta, pero es multifractal a la postre y quizá más compleja.
Los diversos estudios sobre cotizaciones como fractales hasta ahora no han reportado avances importantes sobre pronósticos de sus futuros. Mandelbrot no halló nada en ellos para tal fin y afirmó que buscar patrones era inútil, y no fue el único. Taleb también piensa lo mismo y afirma como otros que en grandes series de datos aparecen pseudo patrones que no lo son. En cambio, el análisis técnico de las cotizaciones en ocasiones acierta y sus aciertos pueden deberse a pseudo patrones, que consecuentemente están condenados a fracasar o a que no sean pseudo patrones y sí patrones verídicos sobre los que no se ha determinado que existe probabilidad de dar resultados correctos o no darlos. Por otra parte, existe el recuento de ondas de Elliott, que para mucha gente es como una falsa religión que cuenta con sus fanáticos defensores. En las ondas de Elliott y antes en la teoría de Dow, hay repeticiones a diversas escalas de un mismo proceso que nunca es igual, pero sí parecido. La teoría de las ondas de Elliott sí parece una religión llena de dogmas y reglas de obligado cumplimiento, pero también son un acercamiento a la estructura fractal de las cotizaciones. A las ondas de Elliott hay que quitarles normas y dogmas y centrarse tan solo en que son unas estructuras que tienden a darse con irregularidades y considerar que sus normas no son tal, sino un intento de esquematizar lo que ocurre en las cotizaciones, concretamente en lo que observó que se repetía. En las cotizaciones como fractales y ante los postulados de que cualquier camino no conduce a pronósticos no se ha abordado suficientemente el considerar que las cosas puedan ser de otro modo a como se ha dicho. Queda muy bonito en una cotización hablar de su dimensión fractal y que de ella se desprende que sí que hay un cierto grado de dependencia en sus precios pasados y que lo habrá en los futuros, pero nadie busca en qué consiste tal dependencia. Se cambia el modelo de mercado eficiente en sus distintos grados por un modelo fractal y las conclusiones a las que llegan son las mismas, que los mercados no son pronosticables. A pesar de ello, hay legiones de pronosticadores tanto para el público en general, como para el público que pague informes, como para agencias y grupos de traders que trabajan secretamente. Generalmente, cuanto más abultados resultados se obtienen más secretismo existe. ¿Cómo casar esos pronósticos con que los mercados no pueden pronosticarse? Esta cuestión se aborda por lo menos de dos formas distintas, o bien se puede predecir y acertar, o bien si se acierta es por puro azar. Así que hay quienes afirman que no se puede pronosticar por convicción o porque no han encontrado modo alguno de hacerlo, y estamos los que afirmamos que sí se puede pronosticar, por lo menos en parte, aunque quienes nieguen que se pueda afirmen que estamos tremendamente equivocados. Estos planteamientos tienen viso de subsistir por un tiempo futuro indeterminado, y yo pongo mi grano de arena en el lado del pronóstico, planteando un modo por procesos reiterativos de construir cotizaciones que casan con la realidad multifractal de estas y sí proponen lugares a los que el precio a ir a detenerse en ellos girando a la contra, procesos que localizan máximos y mínimos antes de que estos se produzcan, máximos y mínimos que son los que dan rugosidad en cualquier escalado a las cotizaciones.