Los cartones de Mandelbrot

Se creyó durante mucho tiempo que las cotizaciones eran paseos aleatorios y que se generaban con un ruido browniano. Veremos el movimiento browniano de una partícula, pero tal movimiento no funciona correctamente para modelizar las cotizaciones. Los primeros cartones los construyó Mandelbrot de un modo semejante a conforme se crea la curva de Koch. Parte de una línea que es la semilla y una línea quebrada, un zigzag, que es el generador. El generador se aplica sobre sí mismo, en cada uno de sus segmentos, iteradamente, mediante transformaciones afines contractivas.

En la primera versión de sus cartones había dos tipos de transformaciones afines del generador, uno para los segmentos alcistas compuesto por una homotecia, un giro y un traslado, el otro para los segmentos bajistas compuesto por una homotecia, un giro, una simetría respecto de un eje y un traslado,

He reconstruido el proceso primero de cartones en el que Mandelbrot simuló el ruido browniano haciendo exactas las distancias del generador, de modo que, como en el movimiento browniano hay una ley potencial con índice de afinidad de 1/2, las distancias del generador tienen en altura la raíz cuadrada de la amplitud. El generador parte de un punto (0, 0) va al punto (4/9, 2/3), continúa hacia el punto (5/9, 1/3) y termina en el punto (1, 1). Las cajas que contienen los tres segmentos del generador miden respectivamente 4/9 X 2/3, 4/9 X (-1/3) y 4/9 X 2/3, ocupando cada segmento la diagonal de cada una de esas cajas.

Si llamamos h a la altura y a a la amplitud o anchura de la caja donde se inscribe cada segmento, tenemos que en los tres casos:

El exponente 1/2 es en realidad el valor de H, el índice de autoafinidad del ruido browniano, que justamente no conlleva dependencia en los datos.

Ese primer proyecto de cartones contenía las bases de cómo construir simulaciones de cotizaciones, eran burdos y no creíbles, pero Mandelbrot tan solo debía ir rectificando el proceso para que pareciesen más realistas, El ruido browniano lo había conseguido imbricar en un gráfico al relacionar la anchura de la caja donde se inscribe cada segmento del generador fractal con su raíz cuadrada, que da la altura de la caja. Quiero apuntar que además estos primeros cartones incluían puntos que se convertían en invariantes para las siguientes iteraciones y eso suponía un fractal autosimilar, cuando se buscaba en realidad uno tan solo autoafín.

Para evitar puntos invariantes que aparecían con cada nueva iteración bastó con permitir que el generador tuviese libertad de combinación de sus segmentos, de modo que, en cada lugar de cada iteración en el que un segmento iba a ser sustituido por una transformación afín del generador fuese el azar el que decidiese qué combinación de segmentos del generador se aplicaba en tal transformación.

Al introducir azar y combinación de segmentos del generador el ruido browniano se mantiene en el cartón ya que los tres segmentos que forman el generador o sus recombinaciones mantienen la regla potencial entre el ancho y alto del rectángulo en que se inscriben, su índice de afinidad sigue siendo 1/2. Aplicando al generador iteraciones y en cada una de ellas y cada segmento una transformación afín, de una de las tres combinaciones elegida por azar, el gráfico deja de tener puntos invariantes, siendo el resultado más realista.

Además de poder combinar los segmentos del generador se puede tener una semilla para el proceso fractal iterativo que no sea una sola línea o que el generador sea más complejo que esos tres segmentos.

Si tomamos los retornos de cualquiera de los cartones que se pueden generar, como el que hemos visto de ejemplo, se observa que obedecen a un ruido o movimiento browniano, pero en las cotizaciones reales los retornos no obedecen a tal ruido. Cambios en el generador suponen otros ruidos, incluso pueden construirse cartones en los que el generador sea una secuencia numérica con el ruido deseado y recombinar tal secuencia para secuencia numérica con el ruido deseado y recombinar tal secuencia para cada iteración proporcionada a cada salto numérico al que va a sustituir.

Las cotizaciones suelen presentar colas gruesas y saltos entre sesiones e incluso dentro de ellas. Las colas gruesas vimos que hacen referencia a la distribución de los datos en una campana de Gauss. A las zonas izquierda y derecha de la campana de Gauss se les llama colas y en ellas, en una campana normal, suele haber muy pocos datos. Sin embargo, en las cotizaciones hay más datos de lo que es habitual. Tal cosa significa que existen retornos que se alejan bastante de la media y provocan colas gruesas. Colas gruesas aparecen en procesos de Lévy, pero tales procesos pueden contener datos tan alejados de la media o infinitos que tan solo uno puede alterar la media, la desviación estándar y la varianza, incluso hacerlas infinitas. Por ello, se elimina tal posibilidad truncando los procesos de Lévy, impidiendo que pueda existir un dato más grande de lo permitido. Se garantiza así que en un vuelo de Lévy nuestra ave no muera por consumir totalmente sus energías buscando una zona para alimentarse, o que en una cotización haya un salto superior a un porcentaje prefijado sin que tal cotización se detenga para que los compradores y vendedores puedan considerar la situación y tomar decisiones para cuando se reinicie la negociación. Para producir saltos en los cartones le bastó a Mandelbrot con introducir saltos en el generador fractal.

La dependencia de largo plazo, esa memoria que las cotizaciones guardan y que observara tanto Hurst como Mandelbrot, esa memoria que queda identificada con el índice de autoafinidad o el coeficiente o exponente de Hurst cuando H>1/2 o H<1/2, pero nunca cuando H=1/2, puede recrearse en los cartones variando la distancia horizontal de los vértices del generador que produce ruido browniano, cosa que ocurre solo cuando H=1/2. Alejar los vértices supone tener 0<H<1/2 y consecuentemente la dimensión fractal D_f es mayor que 1,5. 1,5<D_f ≤2. Los cartones creados con los vértices del generador más separados que el que genera ruido browniano presentan antipersistencia o memoria de largo plazo corta. Si los vértices se acercan horizontalmente, entonces: 1>H >1/2 y la dimensión fractal es menor a 1,5. 1≤D_f<1,5. Recordemos que la dimensión fractal es igual a la dimensión euclidiana menos H y por tanto, al ser 2 la dimensión euclídea tenemos que: D_f =2-H. Los cartones creados con los vértices del generador más próximos que el que genera ruido browniano presentan persistencia o memoria de largo plazo larga. Presentar memoria de largo plazo en los cartones alterando la distancia horizontal de los vértices del generador fractal implica que el ruido que subyace al introducir tales cambios es el browniano fraccionario.

Las cotizaciones quedan modelizadas mejor construyendo cartones con el ruido browniano fraccionario y todavía mejor con vuelos de Lévy truncados y por los truncados y normalizados. Jugando con la ley potencial que relaciona la anchura de los rectángulos en los que se inscribe un segmento del generador fractal con su altura y jugando con el número de segmentos e introduciendo saltos entre ellos se consigue que un cartón puede parecer más fidedigno respecto de una posible cotización. No obstante, no se llega a que los cartones sean como una cotización y Mandelbrot tuvo que recurrir a la multifractalidad en sus cartones para conseguir mayor realismo.

La multifractalidad la consigue con varios generadores actuando a la vez, empleando por un lado un proceso iterativo con transformaciones contractivas para el precio según el tiempo corriente y por otro lado ese cartón después queda alterado por un tiempo multifractal. Las transformaciones son funciones y las funciones son aplicaciones. Si un generador fractal puede ser descrito como una fórmula matemática y otro generador fractal como otra fórmula matemática la multifractalidad de esos dos generadores queda resuelta como una composición de funciones, o lo que es lo mismo, calcular el resultado para cada elemento por la primera aplicación o función o transformación y después con cada resultado calcular la segunda aplicación, función o transformación. Ya habíamos visto composiciones de funciones como son los procesos iterativos en los que había por lo general una sola función. De un primer resultado se extrae un segundo y de este un tercero, etc. aplicando siempre la misma fórmula a cada resultado. Pero en la multifractalidad la iteración no obedece a una sola función, a un solo generador, por lo menos intervienen dos como los SFI sistemas de funciones iteradas en las que había varias.

A los cartones vistos hasta el momento construidos a través de generadores con tres segmentos o más, con diversas proporcionalidades entre el ancho y alto del rectángulo en el que se inscribe cada segmento, con saltos y recombinaciones de los segmentos debido al azar, Mandelbrot los llamó cartones madre. De un cartón madre viene un cartón hijo. El padre de tal hijo es el tiempo mercantil, que es un tiempo multifractal que no lleva el mismo ritmo que el tiempo real, sino que se expande y comprime respecto a este.

El tiempo mercantil multifractal nace con un proceso llamado cascada multiplicativa. Este mismo proceso explica muchos otros fenómenos como la distribución de minerales en terrenos o turbulencias. Podemos intuir de un modo muy sencillo e iterativo cómo se genera tal tiempo mercantil. Supongamos que un periodo de tiempo es un rectángulo de longitud l que tiene a su vez una anchura. Dividamos el rectángulo en dos partes en una proporción no igual a la mitad de su longitud, y en cada iteración sucesiva dividiremos los dos rectángulos en la misma proporción de sus respectivas longitudes como la primera hecha. Antes de cada sucesiva división menguamos o aumentamos la longitud de cada rectángulo para que todos midan la misma longitud, pero aumentamos o disminuimos su altura de modo que el área de cada rectángulo permanezca igual que cuando se dividió. La longitud de cada rectángulo una vez retamañado medirá iteración tras iteración l/2 , l/4, l/8… El área total de todos los rectángulos sucesivos de cada iteración es siempre la misma que la del rectángulo inicial. La longitud de todos los rectángulos retamañados en cada iteración es la misma, pero cada uno tendrá una altura distinta. En cada iteración dividimos cada rectángulo por una misma proporción de su longitud, pero también podemos reflejar tal división aleatoriamente, o sea, que se puede dividir cada rectángulo de modo que aparezca una división grande a la izquierda y pequeña a la derecha o grande a la derecha y pequeña a la izquierda. Al final se consigue un fractal, que en el caso de tiempo representa la concentración o el enrarecimiento de este, o lo que es lo mismo su aceleración y ralentización que ocurre constantemente.

Mandelbrot después de presentar la composición de aplicaciones e inventar un generador madre y uno padre crea 2 planos perpendiculares para que nazca el hijo combinando dos procesos. En el plano de la izquierda está su cartón madre creado como se ha explicado. En el plano de derecha está el cartón padre, que es el tiempo mercantil, un tiempo multifractal. El hijo queda creado en un plano bisectriz del plano donde está la madre y el plano donde está el padre. El hijo es en realidad el cartón madre expandido, comprimido y moldeado por el generador padre. El padre va doblado, girado y enrareciendo el tiempo que tenía la madre y así se crea el hijo. La proyección del multifractal tiempo del plano de la derecha al plano bisectriz de este con el de la madre, junto con la proyección del fractal del plano de la izquierda a ese plano bisectriz reestablece el tiempo mercantil deforme a un tiempo real, imbricando multifractalidad en el precio.

Quizá sea más comprensible tomar un fragmento de una cotización de un cartón madre en el que sí hay aleatoriedad y expandir y comprimir zonalmente este según un tiempo mercantil (padre), obteniendo el mismo resultado hijo sin proceder a proyectar el plano madre y padre al plano bisectriz. Una vez se ha expandido y comprimido zonalmente una ficticia cotización por el tiempo mercantil dejamos que con su forma el tiempo se reestablezca a tiempo real.

De los cartones de Mandelbrot hemos de aprender que con técnicas sencillas se logra complejidad. Mediante procesos que involucran transformaciones afines contractivas se consiguen crear ficticias cotizaciones que podrían pasar por reales. Tales cartones son multifractales y ello implica que por lo menos obedecen a dos generadores fractales.