El movimiento de partículas suspendidas en el aire o en un líquido toma el nombre browniano debido a Rober Brown quien en 1826 vio al mirar en el microscopio partículas atrapadas en polen y que estas se movían, aunque no supo explicar tales oscilaciones. Fue Einstein, en 1905, en su artículo Über die von der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Sobre el movimiento postulado por la teoría cinética molecular del calor de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario, quien determinó que el desplazamiento de una partícula browniana es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido, es decir, que tiene un índice de afinidad H=1/2. Antes, en 1880, en un trabajo sobre los mínimos cuadrados Thorvald N. Thiele había formulado ya matemáticamente el movimiento browniano. Por su parte, Louis Bachelier en 1900, en su tesis doctoral La teoría de la especulación, había trabajado el movimiento browniano aplicándolo al mercado de bonos de París. El movimiento browniano, junto con la teoría de los mercados eficientes y los paseos aleatorios han sido hasta Mandelbrot las bases en las que se creía y de las que se formulaban los modelos del funcionamiento de los mercados, la creación de carteras y el cálculo de primas de opciones. No obstante, en el precio del algodón no se constataba un índice de afinidad H=1/2, ocurriendo lo mismo con los muchos estudios que había realizado Hurst u otros de Mandelbrot. Por tal, no subyacía en esos procesos un movimiento browniano, por lo menos tal y como se conocía.
El movimiento browniano fraccionario estudiado por Mandelbrot es la extensión del movimiento browniano a todo un rango de H que va de 0 a 1, es decir que 0 ≤ H ≤ 1, y ese movimiento browniano fraccionario ya explicaba mejor el movimiento del precio en las cotizaciones y otros muchos procesos.
Un fractal matemático tiene una dimensión, que ya llamaremos fractal, que cae entre su dimensión topológica y la dimensión euclidiana del espacio que lo contiene. En ese tramo se encuentra la dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Mandelbrot consideró que:
Dimensión de Hausdorff-Besicovitch + H = Dimensión del espacio ecuclídeo
Las cotizaciones, al unir tick con tick a través de una línea, forman parte de un espacio euclídeo de dimensión 2, teniendo una dimensión topológica de 1. Podemos hallar H, que es el índice de autoafinidad y que es el exponente de Hurst, que es calculable por el análisis de rango reescalado y actualmente otros métodos. En los fractales existen diversas dimensiones entre la topológica y la euclídea del espacio que los contiene, una de ellas es la de Hausdorff-Besicovitch y por ello se habla genéricamente de dimensión fractal. Se tiene que:
Dimensión fractal de una cotización = 2 – H
H es el mismo exponente que Mandelbrot encontró para el movimiento browniano fraccionario. Según H sea mayor o menor a 0,5 informa sobre la memoria de largo plazo que guardan los fractales. Se habla de memoria corta y de memoria larga en las cotizaciones y otros fractales. Si la dimensión fractal es superior en una cotización a 1,5, es decir, que H<0,5, se tiene memoria corta, ello es porque la cotización cubre más el espacio euclídeo que lo contiene, que es de dimensión 2, teniendo la cotización un carácter antipersistente; tras una subida se espera un giro a la baja y viceversa. Cuando la dimensión fractal de una cotización es inferior a 1,5, es decir, que 0,5<H, se habla de memoria larga, porque la cotización se asemeja más a una curva suave, y ante una subida lo más probable es que siga subiendo; en cambio, ante una bajada seguramente seguirá bajando; o sea, que en este caso la cotización presenta tendencias claras. Las memorias corta y larga se acentúan más cuando la dimensión fractal más se aleja de 1,5.
Muchos estudios sobre cotizaciones como de fractales tratan la dimensión fractal que se haya calculado a través del exponente de Hurst o bien de las diversas curvas a las que Mandelbrot domó, conjeturando que las cotizaciones se perecen en todo escalado sin aportar mucho más que el que su parecido lo es estadísticamente. También los hay que se preguntan si los mercados son eficientes o fractales, otros que reconstruyen alguna cotización a través de sistemas iterados de funciones comprobando lo que postula el teorema de collage, otros llegan a los vuelos de Lévy con truncamiento y estandarizados, otros confirman la multifractalidad, pero no he encontrado estudios en los que se intente averiguar cómo se forma el futuro de una cotización desde la óptica fractal. Con la dimensión fractal se considera de una cotización si tiene una memoria larga o corta y llegan los muchos estudios a postular la dimensión fractal que poseen muy diversas de ellas, considerando que el futuro continuará con la misma memoria de largo plazo estudiada. Calcular el exponente de Hurst y consecuentemente la dimensión fractal de una cotización apenas sirve para nada o para nada del todo en el intento de hallar pronósticos futuros. Si una cotización fuese monofractal, sabiendo su dimensión fractal, o sea, restando de 2 el exponente de Hurst, sistemas tendenciales o sistemas de reversión a la media serían ganadores en ciertos valores o índices cuya dimensión fractal se alejase más que otras de 1,5, pero la realidad se impone y sistemas tendenciales, que se emplearían cuando la dimensión fractal es menor que 1,5, o de reversión a la media, que debieran emplearse cuando la dimensión fractal es mayor que 1,5, funcionan cuando funcionan, generalmente, a veces porque el índice de autoafinidad H o exponente de Hurts no se suele alejar mucho de 0,5. Pero existe un motivo más demoledor: el que las cotizaciones no son monofractales, sino que son multifractales tanto en su precio como en su tiempo y un exponente de Hurst no es más o menos constante a lo largo del tiempo, sino que es muy cambiante. El exponente de Hurst es el índice de autoafinidad, ese exponente que Einstein averiguase para el desplazamiento de una partícula browniana y que es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido (una raíz cuadrada es un exponente de 1/2) y que Hurst por un lado y Lewis Fry Richardson por otro vieron que no siempre es 1/2 para ciertos fenómenos, pero es que no tienen ningún sentido en los multifractales puesto que en ellos coexisten muchos índices de autoafinidad, por lo que en cada momento en una cotización la dimensión fractal es cambiante y ni siquiera cambia suavemente jamás. Si a la inconstancia de la dimensión fractal unimos que el propio Mandelbrot tiró por el suelo que existieran pautas y pronósticos sobre el futuro de las cotizaciones, pues la consecuencia de esto es que el estudio de las cotizaciones, en su aspecto fractal, ha sido el de probar por diversos modos que estas son efectivamente fractales y hallar dimensiones fractales de diversos índices y otras cotizaciones. Este problema de falta de estudio también nace del modo en el que Mandelbrot creó imitaciones de las cotizaciones a través de lo que él llamo sus cartones mediante un proceso iterativo contractivo, “sentando cátedra” con ello, y por ello se piensa, generalmente, que las cotizaciones son resultado de funciones iteradas contractivas con aleatoriedad, cosa que es cierta para una cotización ya habida, pero no para su futuro mientras este no se produce. Teniendo en cuenta que una cotización es un multifractal de la Naturaleza con futuro, la precisión de tal futuro no está garantizada nunca, pero la imprecisión tampoco y los métodos iterativos contractivos nada ayudan para encontrar futuros. Se requieren todos los precios futuros hasta un punto dado para encontrar un sistema de funciones iteradas cuyo atractor sea esa cotización o algo muy aproximado. Debemos saltar esas barreras y abrirnos a la posibilidad de que siendo las cotizaciones multifractales con parte de autosimilitud se pueda por esa autosimilitud pensar en encontrar máximos y mínimos futuros desde el ahora y el pasado. Y ello debido en parte a que hay memoria en y no tienen un H=0,5 constantemente.
Que la dimensión fractal sea cambiante supone distintas rugosidades a lo largo de una cotización y por ello las cotizaciones son semejantes a vuelos de Lévy. De entre los diversos paseos aleatorios el primero estudiado fue el movimiento browniano, quizá antes el mero azar, como ocurre en el caso que vimos de atribuir resultados a un dado y a una moneda, después, el movimiento browniano fraccionario y posteriormente los vuelos de Lévy como más importantes. Todo paseo aleatorio menos el debido al movimiento browniano fraccionario porque tiene memoria de largo plazo descansa en la independencia de los sucesos, lo que significa que, en una serie temporal de un paseo aleatorio el único dato a tener en cuenta es el actual, no computando para nada todo el histórico habido para la formación de nuevos datos. Un vuelo de Lévy es como al vuelo realizado por un ave para alimentarse, que recorre una distancia para estabilizarse sobre una pequeña zona en la que realiza pequeños trayectos oteando, para después volver a recorrer otra distancia de más envergadura y volver a explorar otra zona con vuelos más cortos. Los vuelos de Lévy tienen una distribución de probabilidad de colas anchas, eso significa que, aunque hay pasos (retornos en las cotizaciones) entorno a la media, hay también muchos muy alejados de la media. En las representaciones de datos del mismo modo con el que se dibujan las campanas de Gauss, a los extremos izquierdo y derecho de tales campanas se les llama colas y suelen ser muy finas y cortas. En estos procesos de vuelos de Lévy la cola derecha es ancha y eso significa que los trayectos muy largos tienen mucha representación. En el caso del vuelo del ave son muchisimos pequeños trayectos oteando entorno una zona y muchos vuelos muy grandes cambiando de lugar donde otear. Los vuelos de Lévy tienen varianza infinita y son procesos markovianos, procesos estudiados por Márkov en los que cada suceso es independiente de lo ocurrido antes y en el que uno nuevo depende únicamente del último ocurrido. Más o menos, en las cotizaciones, tal principio se cita constantemente cuando se dice que el pronóstico más acertado del futuro del precio es el valor actual. En las cotizaciones, los procesos markovianos por la memoria o las memorias largas de las cotizaciones se van al traste, se quedan sin importancia, además que puede no cumplirse la propiedad de Márkov. Es erróneo considerar que el precio de cierre de la sesión siguiente depende tan solo del precio de la sesión última, porque la propiedad de Márkov se cumple tan solo de un tick al tick siguiente. El no tener memoria como viene a derivarse de la propiedad de Márkov se da de bofetadas con lo observado por Hurst, por Mandelbrot y por tantos otros, porque sí existe memoria y las cotizaciones no son paseos tan aleatorios. Ahora, como ya he expuesto, los supuestos vuelos de Lévy para las cotizaciones, que como procesos markovianos no tienen memoria, son convertidos a distribuciones de Lévy truncadas, y como estas distribuciones tampoco casan con la realidad de los mercados emergentes, pues se siguen retocando y han sido introducidos los modelos de Lévy truncados normalizados.
Con varianza infinita como ocurre en las distribuciones de Lévy sin trucamiento se podría tener en algún momento un paso de tamaño infinito o por lo menos tan grande que alterase enormemente la media. En los cálculos del análisis de rango reescalado no aparece en ningún momento un infinito o algún dato exageradamente fuera de lugar por tremendo, tipo diluvio universal en el Nilo, luego algo falla o las series temporales en las que Hurst se basó son incompletas y en algún momento aparecerá un fenómeno que, por ejemplo, haga que en el caudal del Nilo sea infinito e inunde todo el universo y el más allá, o que un anillo de crecimiento de un árbol sea un año infinito y colapse también todo el universo y más allá, o las cotizaciones no casan con ser monofractales con una dimensión fractal constante. Por eso, porque no casan con lo que se ha venido proponiendo se buscan nuevas formas de explicarlas, y los vuelos de Lévy parecían ser la panacea. La varianza infinita en los procesos de Lévy cae en el campo matemático, pero en los procesos de la Naturaleza, como el vuelo del ave o las cotizaciones, tal infinito es, cuanto menos, dudoso. El ave, en algún momento debiera emprender el vuelo y volar eternamente sin parar, o morir antes de agotamiento. Si parase en una pequeña zona ya no habría vuelo infinito. Tanto las distribuciones truncadas de Lévy como los modelos de Lévy truncados y normalizados no matan de agotamiento a nuestra ave, ambos tienen varianza finita, cosa que era necesaria para que el Nilo no tenga una crecida más grande que todo el Universo o que una empresa cotizada, de repente, salte su cotización tanto como para que no hubiera riqueza en el universo para poner negociar ni una sola de sus acciones. ¿Cómo podría valer infinito una acción o más que la riqueza de este mundo siendo imposible negociar una sola? Las distribuciones truncadas de Lévy no tocan los datos cercanos a la media y permiten algo de colas gruesas, los pequeños vuelos que el ave realiza en una zona quedan igual, pero a los datos de la cola de la derecha en la distribución de campana se les exige un tamaño máximo del que no puede pasar o un tamaño máximo que viene determinado en cada caso por cálculos en los datos ya existentes; así en los desplazamientos largos el ave no morirá de agotamiento e intentará comer y rápido, bien por cansancio, bien por hambre atroz. En los procesos truncados de Lévy normalizados los datos se dividen después del truncamiento por la varianza que ya es finita. Esto es más o menos semejante a lo que el análisis de rango reescalado también hace, pero con la desviación estándar, cuyo cuadrado es la varianza. En ambos casos es necesario disponer de los datos y eso solo ocurre en las cotizaciones teniendo su histórico. Cuando se obtengan por transcurso del tiempo sus datos futuros sabremos que ha hecho el “ave” cotización y si se ha cansado, estresado, dormía, etc.
Quizá después de haber ido creando teorías tras teorías basadas en paseos aleatorios, se dieron cuenta que en los mercados las cotizaciones tienen un rango estático y otro dinámico para parar su subida o caída más allá de esos rangos, pasando a hacer subastas de volatilidad o a parar por un rato la negociación y reiniciarla después con otra subasta o incluso suspender la cotización hasta la sesión siguiente o aveces no cotizar en varias sesiones. De ahí que se trunquen los vuelos de Lévy y se normalicen para las cotizaciones para intentar explicar cómo son las cotizaciones. Pero muchos de estos modelos eliminan, que existan memorias en las cotizaciones, memorias como las halladas por Hurst en los milenios de datos sobre el caudal del Nilo.