Existen muchas formas de crear fractales, pero quizá el método más estudiado para crear fractales matemáticos es empleando sistemas de funciones iteradas, particularmente, porque muchos fractales autosimilares se pueden construir con tal proceso y también porque cualquier imagen puede ser comprimida y después descomprimida por SFI.
Una única función iterada aplicada sobre un conjunto compacto tiene un punto fijo llamado atractor. En cada iteración se obtiene el compacto original reducido y tal vez girado y/o sesgado y/o reflejado y/o trasladado. Un conjunto compacto es por ejemplo un cuadrado, un círculo, un triángulo o cualquier otra forma. La función iterada es siempre obligatoriamente contractiva, tiene que existir una reducción de tamaño cada vez que apliquemos tal función.
Ejemplo de un conjunto compacto al que se le aplica iteradamente una reducción de su tamaño tanto horizontal como vertical del 50% con un traslado de posición.
He dibujado 7 iteraciones (8 figuras), pero la octava ya es difícil de observar, incluso la séptima. Haciendo infinitas iteraciones el proceso termina en un único punto que es el atractor.
Cuando se parte de un grupo (sistema) de funciones iteradas y no solo de una, al aplicar el sistema sobre el conjunto compacto se obtienen varias copias reducidas y/o giradas y/o sesgadas y/o reflejadas, una por cada función del sistema. Las iteraciones producen n, n2, n3… compactos y se tiende al final a un fractal que es el atractor del sistema de funciones. Por el procedimiento de SFI se obtienen fractales totalmente autosimilares como el triángulo de Sierpiński que vemos acto seguido.
El triángulo de Sierpiński y otros muchos fractales creados por un sistema de funciones iteradas en el plano parten, valga la redundancia, de funciones. Recordemos que las funciones son aplicaciones generalmente entre conjuntos numéricos, pero estas aplicaciones de los SFI son un poco más extensas y con otra notación. En vez de expresar las funciones con letras minúsculas (f, g, h …) las expresamos con mayúsculas (F, G, H …) y, además, hacemos referencia a cómo afecta cada función a cada punto (x, y) del compacto origen de la aplicación en cada iteración. Al compacto se le designa con una letra mayúscula, como a cualquier conjunto. Al grupo de funciones del sistema se le representa también por letras mayúsculas. Así con las siguientes funciones contractivas obtenemos el triángulo tras infinitas iteraciones:
Podemos llamar L = (F, G, H) al sistema de funciones iteradas y al compacto llamarle A. El fractal resultante sería el último conjunto de la serie de iteraciones, que es el atractor del sistema. El proceso lo expresamos como:
El triángulo de Sierpinsky es el atractor de un SFI que consta de tres funciones iteradas, por lo que en cada iteración se forman 3, 32, 33, 34… compactos. En este caso se parte de un compacto triángulo equilátero y podemos observar 5 iteraciones.
El grafo de una cotización lo entendemos generalmente como una imagen, estando muy acostumbrados a ver las cotizaciones representadas en su forma gráfica y puede ser ese el motivo de creer que se pueden estudiar las variaciones de precio de las acciones, índices y demás productos financieros por procesos parecidos a cómo se construye la curva de Koch dotada de aleatoriedad. Esta curva que en origen es autosimilar es generada por un sistema iterado de funciones contractivas. Al introducir aleatoriedad en la metodología de obtención de curvas basadas en ella se pierde la autosimilitud y se pasa a tener tan solo autoafinidad, pero a cambio se consiguen curvas que asemejan fronteras, costas, islas y otros contornos, así como bajo ciertas circunstancias cotizaciones.
En 1981 J. E. Hutchinson creó una teoría para obtener conjuntos fractales autosimilares después de estudiar las propiedades de los que ya se conocían. Se basa su teoría en ir aplicando semejanzas contractivas indefinidamente. Una semejanza es una transformación, un tipo especial de aplicación o de función, de modo que la teoría no deja de ser un sistema iterado de funciones. Es lo que ocurre con el polvo de Cantor o con la curva de Koch o con el triángulo de Sierpiński, así como en otros muchos fractales autosimilares. Se parte de una forma sencilla geométrica como una línea, un triángulo, un cuadrado… o una combinación de formas sencillas. A una de estas formas o combinación iniciadoras se les llama semilla. Por ejemplo, en el polvo de Cantor o la curva de Koch es un segmento y en el triángulo de Sierpiński es un triángulo equilátero. Después se aplica a la semilla un generador, que es generalmente el primer cambio realizado a la semilla, y que siguiendo con el polvo de Cantor o la curva de Koch es la figura en la que al segmento inicial se le ha quitado su tercio central y este ha sido sustituido por los lados de un triángulo equilátero sin base en la curva de Koch, en el triángulo de Sierpiński es la eliminación de un triángulo equilátero invertido cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo semilla. El generador se aplica iteradamente sobre sí mismo y así se obtiene el fractal. En el caso del polvo de Cantor o de la curva de Koch a cada tramo de recta se le aplica el generador y sucesivamente a cada nuevo tramo de línea, en el caso del triángulo de Sierpiński a cada triángulo sólido se le aplica el generador. En eso consiste la semejanza contractiva, en que en cada iteración se emplea el generador cambiado de escala, proporcionado a tamaño menor, pudiendo emplearse cualquier transformación afín (proporcionalidad, rotación, simetría o traslación) o varias de ellas combinadas a la vez. Es un proceso gráfico de lo que en realidad es un sistema de funciones iteradas sin que haya que recurrir a las ecuaciones que definen cada función.
Mandelbrot creyó que las cotizaciones, como fractales, pueden simularse por un proceso semejante al de construcción de la curva de Koch según la teoría de J. E. Hutchinson, pero introduciendo aleatoriedad, rompiendo así la autosimilitud y quedándose tan solo con curvas que conservan su autoafinidad. Es el azar quien decide en cada siguiente iteración en cada uno de los segmentos rectos si su tercio central es sustituido por los lados de un triángulo equilátero sin base orientados a la derecha o a la izquierda, y rizó el rizo para conseguir que un proceso, a la postre, iterativo contractivo con aleatoriedad pareciese una cotización habida. Incido permanentemente en llamar la atención del lector sobre que, por el proceso de cartones de Mandelbrot, se consiguen ficticias cotizaciones pasadas, nunca ficticias cotizaciones futuras, y ello, porque se parte de un tiempo y precio inicial y un tiempo y precio final. Ambos pares inicial y final son ya conocidos y por tanto, como mucho podrían recrear un ficticio futuro que no se fuera a dar nunca. Los cartones de Mandelbrot rellenan ambos pares tiempo-precio con una supuesta curva fractal que es semejante a posibles cotizaciones reales.
Ejemplo de construcción de la curva de Koch al introducir aleatoriedad.
El teorema del collage afirma que se puede encontrar un sistema de funciones iteradas SIF cuyo atractor del sistema esté tan próximo como queramos o que coincida con el conjunto fractal del que se busca el sistema de funciones iteradas. Es importante el teorema ya que no solo afirma que se puede encontrar el SFI que permita reconstruir el conjunto fractal, sino que podemos obtener otros SFI que reconstruyan otros conjuntos fractales que este esté tan próximo al original como deseemos. Gracias al teorema del collage se puede hallar un sistema de funciones iteradas que permita reconstruir imágenes tan solo contando con él. Una fotografía o cualquier gráfico puede ser comprimido así, encontrando su SFI o uno seguramente más sencillo que permita reconstruir la imagen original o una aproximación bastante fidedigna. Tal compresión es la llamada compresión fractal de imágenes. El sistema de funciones iteradas ocupa muy pocos bytes comparados con los que ocuparía la imagen original. Existen diversos métodos de reducción de cálculos para reducir el volumen de tiempo que se emplea en tales procesos de compresión fractal, de modo que no se obtiene el SFI cuyo atractor resultante sea la imagen original, pero que sí se halle lo suficientemente próximo a la imagen original como para cumplir los fines de compresión deseados. Una cotización habida no deja de ser, al representar su grafo, una imagen a la que se le puede buscar por el teorema del collage un sistema de funciones iteradas que simulen tal cotización con un grado de aproximación suficiente. Pero una imagen de una cotización reconstruida por un SFI es eso: una explicación muy próxima a su pasado. Si tomamos una fotografía y la comprimimos fractalmente, mediante el o los SFI que hallemos, nada podemos, al expandir y reconstruir la imagen, saber de lo que está fuera del encuadre, fuera de la propia fotografía que hemos comprimido inicialmente. A la derecha, arriba, abajo y a la izquierda de la imagen tomada existió realidad, mundo, pero de él nada se puede saber por el SFI con que fue comprimida la imagen. Quizá el pronóstico más acertado de cada supuesto píxel de fuera de la fotografía sea el píxel adyacente que sí forma parte de la fotografía, como ocurre en las cotizaciones con el precio actual, que es el pronóstico que se toma como más acertado del siguiente futuro precio. El futuro de una cotización escapa de cualquier SFI hallado conforme postula el teorema del collage, ese futuro es como el mundo exterior al encuadre de la fotografía que no puede ser recreado una vez se tiene el sistema de funciones que generan un atractor semejantemente próximo a la fotografía.
Antes de introducirnos en los cartones de Mandelbrot es necesario explicar algunas cosas de los fractales como su dimensión, las memorias de los fractales que evolucionan con el tiempo, el ruido browniano y el ruido browniano fraccionario que él postuló y desarrolló matemáticamente y algunas cosas más para poderlos entender con precisión.