Sobre la autosemejanza en los fractales

Este trabajo descansa en las semejanzas que existen dentro de cada fractal cotización por ciertas transformaciones que podría llamar locales y sujetas a probabilidades, transformaciones de algún modo próximas a las afines. Las transformaciones afines son transformaciones lineales (simetrías, rotaciones, homotecias, etc.) con un traslado o sin él. Alterarlas y dotarlas de concentraciones de probabilidad se puede hacer de varios modos. He optado por uno muy sencillo, introducir conjuntos borrosos y números borrosos, porque son fáciles de entender y permiten con sencillez la comprensión de lo que iré exponiendo. Se hace necesario asimilar qué son las autosemejanzas en los fractales antes de abordarlas en las cotizaciones e introducir conjuntos y números borrosos.

Siendo los fractales conjuntos matemáticos o que existen en la Naturaleza, los hay que dentro de ellos tienen semejanzas exactas de partes o del todo a otras partes menores, pero también se pueden encontrar semejanzas de partes a partes iguales o mayores en ellos. Hay varios tipos de autosemejanza, aunque nos interesan de momento los dos extremos de esta. Por un lado, tenemos que si cada parte menor de un fractal pudiésemos observarla de modo amplificado como con una lupa e incluso con microscopio nos encontraríamos viendo exactamente lo mismo que en la parte mayor. A esa autosemejanza exacta me referiré en el texto como autosimilitud, tal y como se nombra en otros textos. Por otro lado, tenemos otros muchos fractales, la inmensa mayoría, que no tienen esa autosemejanza exacta, pero sí que conforme escalamos tamaño a menor en ellos, es decir, observamos partes de ellos del tamaño que sea y con la lupa que sea, se mantiene el mismo comportamiento estadístico en tal escalamiento más fino. Me referiré en el texto a esta semejanza estadística como autoafinidad, al igual que en otros textos.

Autosimilitud significa que una porción del fractal es exactamente igual geométricamente, salvo por la escala, giro, reflexión o traslado a todo el fractal o que todo el fractal es igual a una porción de él y esta porción a otra más pequeña, y así sucesivamente, que un trozo de fractal es exactamente igual a otro trozo de fractal incluso en otro lugar, que una parte grande o todo él es proporcional a zonas más pequeñas. Hay por doquier homotecias del fractal trasladadas y/o rotadas. La autosimilitud no se da en las cotizaciones, por lo menos es lo que se ha venido afirmando, pero encontraremos vestigios de ella y cómo el futuro de cada cotización descansa en tales indicios de autosimilitud.

Al aplicar a la geometría de ciertas curvas y series que parecían fractales procesos estadísticos se constata que mantienen cierto comportamiento estadístico al escalado. Ese comportamiento estadístico mantenido en los cambios de escala es la autoafinidad. Un fractal que presenta solo autoafinidad no es igual a alguna de sus partes ni estas a otras más pequeñas como ocurre con los autosimilares, pero, sin embargo, sí conservan el mismo comportamiento estadístico a cambios de escala como se observó y observa en las turbulencias, en el precio del algodón a lo largo del tiempo, en la evolución del caudal de los ríos, en las líneas de costa, etc. La autoafinidad es ese cierto comportamiento estadístico idéntico a cambios de escala y se da en todos los fractales, incluyendo a los que presentan autosimilitud.

La autosimilitud, matemáticamente, es una invarianza a los cambios de escala, una transformación de homotecia contractiva con rotación o sin ella, con simetría o sin ella o con traslado o sin él. La autoafinidad es una invarianza en cierto comportamiento estadístico a los cambios de escala, en ella no hay homotecias de todo el fractal o de sus partes, no se van a encontrar figuras que se correspondan punto a punto unas respecto a otras cambiando su tamaño.

Cabe preguntarse si la autosimilitud es un compartimento estanco que, o bien se posee, o bien no se posee de ninguna manera. Cierto es que hay fractales con autosimilitud de un modo distinto al recién narrado, pero como veremos son casi autosimilitudes. Me planteé si existe en los fractales no autosimilares, concretamente en las cotizaciones, indicios de autosimilitud, o sea, que entre esta y la sola autoafinidad estadística haya fractales con ciertas autosimilitudes no exactas, autosimilitudes leves, y si estas se podían determinar de algún modo por más desdibujadas y ocultas que pareciesen a simple vista. Me lo planteé en las cotizaciones porque venía encontrando comportamientos en ellas que bajo la óptica fractal podían ser autosimilitudes parciales o débiles. Indagué qué parte de autosimilitud poseen y en qué consisten después de haber encontrado, primero, qué eran autosimilitudes sujetas a probabilidad, llegando, después, a constatar que sí que hay autosimilaridades parciales o débiles en las cotizaciones. Tales autosimilaridades parciales son multi homotecias de ciertas mediciones entre máximos y mínimos en precio o en tiempo cuyos resultados son otros máximos o mínimos.

Hay fractales que tienen semejanza exacta anisotrópica, en los que un trozo del fractal guarda una proporción en el escalado en una dirección y otras proporciones en otras direcciones. Un fotograma de una película de cinemascope es anamórfico, mantiene una proporción en vertical distinta a la proporción horizontal respecto de la imagen proyectada en la sala de cine. La proyección se realiza mediante una lente anamórfica que proporciona la verticalidad proyectada de modo distinto a la horizontalidad, reestableciendo las proporciones al modo en el que estamos acostumbrados a conocer este mundo. La imagen en la pantalla con las proporciones reestablecidas y el fotograma con la horizontalidad comprimida pueden considerarse anisotrópicos. Los fractales anisotrópicos no son autosimilares exactos, pero casi lo son.

Fractales como los conjuntos de Julia o los de Mandelbrot presentan autosimilitud, pero no del fractal completo sobre partes de sí mismo, sino que de partes del fractal sobre otras partes más pequeñas. La autosimilitud de estos conjuntos es parcial y por tal coexiste con una no autosimilitud en el mismo fractal. No obstante, el conjunto de Mandelbrot también presenta autosimilitud completa porque todo el conjunto fractal aparece por doquier a escalas mucho más pequeñas.

En principio, la autoafinidad por sí sola no implica la no presencia de ningún vestigio de autosimilitud. Sin embargo, entre la autoafinidad y la autosimilitud pueden y deben existir fractales que presenten algo más que el idéntico comportamiento estadístico a cambios de escala manteniendo una ley potencia. Ha de haber fractales con algún rasgo de autosimilitud no observable a simple vista, como ocurre en los que sí se puede observar en los anisotrópicos o los conjuntos de Julia o Mandelbrot y que tal autosimilitud sea de modo débil. Presentar algo de autosimilitud supone que existan homotecias entre un o algunos algos y otros algos del fractal al que solo se le suponía autoafinidad. Una homotecia es una proporcionalidad entre figuras en geometría. En las cotizaciones veremos que existen esas proporcionalidades geométricas, pero sujetas a probabilidades; además, un posible origen creador de homotecia no plantea una sola homotecia, sino varias a la vez probables y coexistentes. Los fractales anisotrópicos, los conjuntos de Julia, Mandelbrot y otros no son autosimilares del todo, pero podría cambiarse o extenderse el concepto de autosimilitud a que todo o un trozo del fractal guarde respecto de otros trozos más pequeños una proporción en toda dirección o en una dirección de un modo y otras en otras direcciones de otro modo, pudiendo haber rotaciones, reflexiones y traslaciones. De entender así la autosimiltud planteo si en algunos de los fractales que ahora quedan catalogados como que tan solo poseen la propiedad de autoafinidad hay algo de autosimilitud.

Las cotizaciones se han catalogado como solo poseedoras de autoafindad. No obstante, veremos que hay ciertas autosimilitudes sometidas a probabilidad en ellas y que estas como fractales se encuentran en un lugar intermedio entre el extremo en el que todo es como otros todos más pequeños o más grandes o en otros lugares y el otro extremo en el que nada se parezca a nada salvo en su comportamiento estadístico de mantener una ley potencial en cualquier escalado. Hay un terreno inexplorado en las cotizaciones: el que existe entre autoafinidad y autosimilitud, y el estudio de este territorio en el que caben ciertos tipos de autosimilitud no exacta quedará bien abordado en este texto.

Homotecias preestablecidas y con probabilidad en la realización de máximos o mínimos relativos o absolutos, cual si fuesen patrones que se repiten, son semejanzas, o quizá tan solo rasgos de semejanzas entre ciertas mediciones pasadas y ciertas mediciones en la cotización que se expresarán en el futuro. El tiempo avanza, pero, una vez los pares (tiempo, precio) se han construidos hasta el presente, hechos recientes en las cotizaciones, atendiendo al respectivo escalado en su expresión de lo que es local para cada escalado, infieren hechos que en el futuro se producirán posiblemente. Algunas distancias fácilmente detectables marcan hechos futuros a través de ciertas proporcionalidades, reflexiones y giros, algo semejante a un conjunto de homotecias con traslados y con grados de posibilidad, algo parejo a un conjunto de transformaciones afines sometidas a probabilidad y algo de borrosidad.

Voy a intentar sustentar que el futuro de las cotizaciones es en cierto grado predictible basándome en su parte de autosimilitud que poseen, y lo haré desde la siguiente suposición: Tengamos un fractal curva autosimilar cuya construcción depende del tiempo. Evidentemente, tan solo sería un fractal matemático que solo existe en nuestra imaginación. En él, su comportamiento futuro es totalmente previsible. Dado que muchos fractales se forman de un modo iterado, es decir, con un sistema de funciones iteradas, el nuestro imaginado autosimilar también se estará formando en tiempo pasado, presente y futuro por funciones iteradas. Nosotros no saltamos en el tiempo y solo vemos el pasado de tal fractal y su presente, pero la otra parte de él ya existe matemáticamente y nosotros solo podemos contemplar cómo se va manifestado su futuro. Ese fractal curva lo vemos avanzar conforme avanza el tiempo, observando tan solo lo ya ocurrido. Como ese fractal es autosimilar, el camino futuro todavía no recorrido lo conocemos o lo podemos conocer con total precisión, basta un poco de sencillas matemáticas para saber dónde estará tal fractal curva en cualquier momento. Sabremos constantemente cómo va a evolucionar. Por desgracia, no tenemos fractales de la Naturaleza totalmente autosimilares que evolucionen con el tiempo. Si nos vamos al otro extremo y cambiamos el supuesto a un fractal curva que se va creando con el avance del tiempo, pero que tan solo cuente con autoafinidad, de él sabremos que mantiene la misma estructura, se vea en la escala que se vea, en su comportamiento estadístico y no tenemos certeza de hacia dónde evolucionará en cada momento del futuro. Es el caso de una cotización, que estadísticamente es igual, la miremos en muestras de años, meses, semanas, días, minutos o ticks y que de ella no tenemos certeza de lo que hará futuramente salvo lo posible que ocurra en cada tick siguiente respecto del anterior debido a la propiedad de Markov. Pero ¿y si la autosimilitud, para las cotizaciones y quizá más fractales, no es un comportamiento estanco que posean solo la creme de la creme de los fractales y sí que posean algo de ella? ¿Se podrían inferir precisiones hacia el futuro en su evolución? Desde el futuro se pueden corroborar ciertos grados de autosimilitud hacia al pasado, que es lo que Mandelbrot hizo con sus cartones usando transformaciones afines contractivas, siendo el azar quien tomaba cada transformación de un conjunto de ellas. Tales transformaciones no dejan de ser un sistema de funciones iteradas con cierta probabilidad. Pero, ¿desde el presente y pasado se puede predecir el futuro?, ¿se pueden encontrar posibles caminos futuros para que una vez producido alguno se mantenga algún o algunos grados de autosimilitud? La respuesta rotunda a estas preguntas es un sí. En las cotizaciones al haber un cierto grado de autosimilitud se pueden predecir lugares en los que la evolución de esta marcará máximos o mínimos relativos con ciertos grados de probabilidad.

En las cotizaciones hechos futuros aún no ocurridos infieren ya sobre hechos presentes o infirieron sobre hechos ya pasados. Quizá esto que digo pueda parecer cuanto menos raro, pero es lo que ocurre, ya que una vez creado tal futuro se pueden reconstruir la cotización con funciones iteradas contractivas según como ya he comentado varias veces postula el teorema del collage. Lo que cabe esperar, porque estamos acostumbrado a ello en muchos aspectos de nuestras vidas es que hechos pasados infieran en el futuro y por ello lo contrario nos parece cuanto menos raro. Que lo aún no ocurrido infiera en lo ya ocurrido es consecuencia de que las cotizaciones tengan cierto grado de autosimilitud y que no se encuentren en el rincón de tener tan solo autoafinidad estadística. Haga el lector un pequeño esfuerzo de imaginación y considere cualquier fractal que tenga autosemenjanza completa de dimensión topológica 1, en un espacio euclídeo de dimensión 2, es decir, un fractal autosimilar representado en un plano bajo coordenadas cartesianas, por ejemplo. Una representación tal no deja de ser el grafo del resultado de un sistema de funciones iteradas contractivas y, por tanto, de todos los pares (x_i, y_i) . Un trozo de tal fractal es exactamente igual a otros trozos de ese fractal y a otros más de otros tamaños cambiando de escala, aunque estén trasladados o rotados. Esto lo consideramos así de normal y natural porque el fractal lo tenemos representado en un plano y lo observamos todo de una vez. Entendemos que un trozo de fractal que se encuentre a la izquierda de la representación pueda ser igual a otros que se encuentren a la derecha y viceversa, a un trozo más pequeño o más grande tanto a la izquierda como a la derecha. Ahora propongo que mentalmente cambiemos las x_i (izquierda-derecha), que denotan espacio, por t_i, que denotan tiempo t_i (antes-después), como ocurre en las cotizaciones. Evidentemente el tiempo hay que recorrerlo y nuestro fractal estaría construyéndose no en el proceso de iteraciones de las funciones contractivas, sino en su trayectoria del antes al después. Por otros procesos de nuestra experiencia consideramos que trozos pasados de nuestro fractal autosimilar van a ser iguales o proporcionales a trozos futuros que aún no han ocurrido, pero intuimos, o mejor, sabemos, qué va a hacer este imaginado fractal: repetirá trozos de distinto tamaño del pasado cambiando o no la escala, rotándolos y trasladándolos o no. Asumimos que trozos del fractal futuro van a ser idénticos a trozos escalados o no del fractal pasado y que esos trozos futuros del fractal van a ser idénticos a trozos pasados mayores o menores. Sabremos, sin ninguna duda, cómo va a evolucionar el futuro del fractal porque es autosimilar y si en algún momento dudamos, a la mínima evolución veremos qué clase de homotecia está construyendo y sabremos de inmediato qué más va a ocurrir. La flecha del tiempo del fractal imaginado autosimilar recorre el sentido del tiempo hacia el futuro, pero tal flecha es tan solo una percepción nuestra. El fractal no tiene flecha de tiempo y tan solo se nos muestra poco a poco. Lo que todavía no existe en ese fractal imaginado, y que existirá, influye sobre su pasado, al igual que su pasado lo hace sobre su futuro.

Si en las cotizaciones hay un cierto grado de autosimilitud, entonces pasado, presente y futuro interfieren entre ellos, y tan equivalente es que desde el pasado se deduzca el presente y futuro con probabilidad, como que desde el probable futuro se deduzca lo pasado y presente. Los diversos futuribles de una cotización acaban siendo una realidad cuando el futuro ha llegado, pero de lo recién expuesto que como primera impresión parezca que no sirve para nada hallaremos un método al que llamo bB y bbB por el que aún no habiendo terminado una corrección se pueda saber (con ciertos grados de probabilidad) el precio más profundo (o más grande) de ella ya ha sido alcanzado antes de que la corrección termine. Es necesario entender las Ondas de Elliott (o mejor dicho: mal entender las Ondas de Elliott, evitando sus estrictas normas o leyes) para desde sus ondas ‘B’, bien en una plana, en un zigzag o en un triángulo poder intuir si el fondo (o el máximo) de la corrección se ha producido ya probablemente o no, y en el caso de que no se haya producido, averiguar probablemente dónde va a estar.