Benoît Mandelbrot, nacido en Varsovia, Polonia, en 1924 y fallecido en Cambridge, Estados Unidos, en 2010, es el padre de los fractales y de la Geometría Fractal. Él intuyó y encontró que en la complejidad de muchas cosas que llamó fractales se podía encontrar sencillez. Domó, como él decía, diversas curvas y otras formas matemáticas que eran catalogadas como monstruos o esperpentos, cual lo eran curvas continuas no derivables en ningún lugar (que no tienen ninguna línea tangente en ningún punto), en las que cualquier tramo tiene una longitud infinita, llegando algunas a cubrir completamente un plano. Encontró la misma sencillez en ciertas funciones matemáticas de puntos, curvas, superficies y sólidos tridimensionales que en las curvas que “domó”. Algunas de tales criaturas son el polvo de Cantor; la curva de Koch; las de Peano; las de Hilbert; las curvas de dragón; el triángulo, alfombra, pirámide y cubo de Sierpiński; los conjuntos de Julia y bastantes más; interrelacionando algunas de ellas y empleándolas para explicar muchas cosas de la Naturaleza. Quizá sea esto lo más importante, el que muchos procesos, muchos objetos, muchas formas y fenómenos pueden ser explicados desde sus domesticaciones y por sencillos modos de obtención de fractales, entre los que se encuentran los creados por procesos iterativos o recurrentes. El Universo mismo es explicado fractalmente con sus diversas coagulaciones y agrupaciones de materia como galaxias y sus cúmulos, al igual que las líneas de las costas, los continentes, cordilleras, las cuencas de los ríos, los paisajes, el relieve, planetas, árboles, rocas, nubes, torbellinos, rayos, corrientes de aires y agua, turbulencias, los procesos de coagulación, la percolación, la carne, las arterias, los pulmones, el cerebro, las fracturas, grietas, procesos sociales psicológicos como el cambio de voto en elecciones, así como un largo etcétera que cada día crece más y más. Entre las muchas cosas fractales existentes, las cotizaciones lo son, y todo comenzó, para considerarlas fractales con el estudio sobre el histórico del precio del algodón que él llevó a cabo, que al desmenuzar su cotización a lo largo del tiempo observó que tenían el mismo comportamiento que vio en los errores y ruidos en las transmisiones trabajando en la IBM, o en las turbulencias de los fluidos; concluyendo que eran fractales y desarrollando procesos iterativos contractivos para simularlas.
La definición exacta de fractal no está clara, fue el propio Mandelbrot quien propuso una y quien los estudió enlazando muchas cosas inconexas que existían en matemáticas y física, procesos que no se adaptaban a lo que se esperaba que debiera ocurrir o que presentaban unas características o resultados imposibles de digerir hasta el momento de la creación de la matemática fractal. Remarcar que un fractal es un objeto matemático y que por extensión son fractales de la Naturaleza aquellas formas u objetos que se asemejan a los matemáticos o que pueden aproximarse con los matemáticos. En 1984, para expresar que la Naturaleza es tremendamente más compleja que las formas simples de la geometría que existía hasta ese momento, dijo: “las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, como la corteza de un árbol no es plana ni un rayo viaja en línea recta”, objetos todos ellos fractales. La geometría fractal permite estudiar muchos procesos y formas de la Naturaleza de un modo más preciso a como se venía haciendo hasta su irrupción. Trabajó Mandelbrot defendiendo los gráficos de los fractales representables porque, entre otras cosas, se podía así manifestar a simple vista su principal aspecto, que es la autosemejanza en todo escalado. En las cotizaciones tal autosemejanza es su autoafinidad o autosemejanza estadística a cambios de escala, que hace pensar en ciertas «proporcionalidades» internas de comportamiento según una ley potencial. Semejanzas y afinidades son entes geométricos que un fractal tiene de él o de parte o partes de él mismo hacia sí mismo y que se aprecian en el cambio del escalamiento e incluso sin cambiarlo. En muchos fractales representables en un plano, incluyendo muchas de las domesticaciones de Mandelbrot, las distintas autosemejanzas son funciones afines iteradas contractivas, o, dicho de otro modo, copias exactas a pequeño u homotecias contractivas rotadas, espejadas o trasladadas de todo o parte del fractal, que nuevamente se vuelven a copiar a pequeño rotándolas, espejándolas o trasladándolas y así sucesivamente, pudiendo intervenir o no azar para decidir cómo colocar cada homotecia en el proceso.
El lector si no está familiarizado con fractales debiera informarse un poco sobre ellos en cualquiera de los muchos lugares que existen en Internet, revistas, libros, etc. Puede remitirse a fuentes originales para tener información suficiente sobre fractales y sobre las cotizaciones como fractales, particularmente dos libros de Benoît Mandelbrot: “La Geometría Fractal de la Naturaleza” (Benoît Mandelbrot, 1997) y “Fractales y Finanzas – Una aproximación matemática a los mercados: arriesgar, perder y ganar” (Benoît Mandelbrot, 2006. Escrito en colaboración con Richard L. Hudson). Existe exhaustiva información al alcance de cualquiera para entender qué es un fractal, ver algunos ejemplos, aproximarse a conceptos de dimensión fraccionaria o fractal como lo es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, la de conteo por cajas, los conceptos de autoemejanza y sus dos categorías: la autosimilitud y la autoafinidad, los procesos de iteración con los que muchos fractales se construyen con funciones contractivas, el escalado y algunos conceptos más como el exponente de Hurst, el ruido browniano fraccionario, los vuelos de Lévy… que son importantes para la comprensión de las cotizaciones como fractales.
Mandelbrot creó un modo iterativo de generar ficticias cotizaciones que se asemejasen tremendamente a las cotizaciones verídicas. Tal proceso iterativo contractivo tuvo que ir puliéndolo desde su primera ideación, introduciendo azar y multifractalidad. El resultado parece una cotización, pero su método de cartones iterados y alterados en cada iteración por el azar es tan solo una aproximación de lo que pudo haber sido una tendencia o varias alcistas, bajistas o laterales entre un precio y tiempo de inicio ficticio y un precio y tiempo final ficticio dados de antemano. Sin embargo, una cotización real se va formando en el presente y aunque tienen un origen pasado no se tiene más final que el actual precio, quedando el futuro sin escribir hasta que este se produzca. Disponer, como en los cartones de Mandelbrot, de un precio y un tiempo iniciales y unos finales ficticios supone una labor de relleno entre esos dos puntos en un plano, en el que en el eje vertical es el precio y el horizontal el tiempo. De igual modo a como entre los dos puntos podemos trazar una recta o una curva, Mandelbrot por un proceso iterativo contractivo va rellenando un camino entre ambos puntos, determinando el azar qué tipo de relleno contractivo se emplea en cada una de las iteraciones posibles, obteniendo al final un fractal que se asemeja a cualquier gráfico de una cotización. Como en esos cartones de Mandelbrot aparece el azar, las posibilidades de líneas de relleno tras cada iteración, conducidas siempre por el azar entre los mismos puntos inicial y final son incontables. Una cotización verídica no es un relleno entre dos puntos del espacio tiempo-precio ya habidos, sino que camina hacia precios futuros, que generalmente se consideran indeterminables, aunque en muchas ocasiones sí sean determinables. Veremos cómo se pueden aproximar tales precios, sabiendo que serán lugares a los que una cotización tiende a ir a detenerse marcando máximos o mínimos relativos o absolutos, y siempre bajo ciertos grados de probabilidad o incertidumbre de alcanzar tales precios en su construcción futura o que el precio se detenga en tales lugares marcando un mínimo o un máximo relativo que destaque más que lo que podría considerarse ruido. No es el azar el que rige los diversos destinos del precio de una cotización, sino algo parecido a lo que podrían llamarse transformaciones afines probables y difusas nacidas de ciertas mediciones concretas con comportamientos semejantes a las homotecias trasladadas que se observan con las ondículas, pero más complejos. En una cotización ocurre así por más que los humanos interferimos, alcanzándose tales destinos en los que se crea un giro. Los humanos no somos las monedas o dados que se lanzan y que determinan cuánto avanza o retrocede una cotización cual una caminata aleatoria. Los humanos y la propia Naturaleza actuamos haciendo más probables o menos probables lugares que el precio pueda alcanzar, preestablecidos desde diversas zonas de muy diversos tamaños, tanto desde el pasado reciente como desde el lejano. Nuestras actuaciones en el futuro crean caminos de cada fractal cotización, y cuando este se haya producido se seguirá cumpliendo que la cotización habida es fruto de funciones iteradas contractivas.
Las cotizaciones son una sucesiones de precios que se dice cumplen la propiedad de Márkov. Esta propiedad se tiene cuando toda la historia pasada de un proceso (pares tiempo-precio en las cotizaciones) se puede resumir en la posición actual que ocupa tal proceso para poder calcular la probabilidad de cambiar a otro estado, es decir, que si los estados posibles son los diversos precios que puede tomar una cotización desde el actual, esta cumple la propiedad de Márkov porque el siguiente tick se puede predecir sabiendo todos los posibles precios futuros a los que puede saltar. Esta propiedad es entre el tick actual y el siguiente, pero no desde el actual a los que van después del siguiente. Se dice que los procesos de Márkov no guardan memoria, pero esta afirmación se refiere tan solo a que no es necesario saber el histórico de estados habidos para poder deducir el siguiente posible estado. Supongamos una acción cuyo último tick es 6,35, con un rango dinámico del 3 % (limitación máxima de desplazamiento de precio desde el último tick sin que se abra subasta de volatilidad) que cae dentro del rango estático (limitación máxima de desplazamiento de precio desde el de apertura o el de cualquier subasta posterior) y que solo fija precios de céntimo en céntimo. Tenemos que el estado actual es 6,35 y los posibles estados futuros abarcan todos los precios de céntimo en céntimo que hay en 6,35 ±3% = 6,35 ±0,19. Los estados futuros van de céntimo en céntimo desde 6,16 a 6,54. De nada sirven todos los anteriores precios habidos antes del tick último (6,35) para poder determinar a qué precios puede ir el tick siguiente. Esto expresado en este ejemplo es cumplir la propiedad de Márkov y que suponga que una cotización es un proceso sin memoria. Todo lo ocurrido antes del tick último no influye para nada para determinar el tick siguiente. Sin embargo, se sabe que las cotizaciones guardan un tipo de memoria llamada memoria de largo plazo como descubriera Hurst. No es incompatible cumplir la propiedad de Márkov y tener memoria de largo plazo, porque el empleo de la palabra memoria hace referencia a cosas distintas en ambos casos. Cabe preguntarse qué es largo plazo, porque este concepto tiene que ver con un abundante número de datos histórico y quizá un buen puñado de ticks pueda ser ya largo plazo, aunque esos ticks supongan poco tiempo real, quizá una o varias sesiones de cotización. La primera vez que se descubrió la memoria de largo plazo en una cotización fue con los precios de cierre diarios del algodón tal y como ya hiciera Hurst con el caudal del Nilo, anotado por milenios día a día, para la construcción de una presa.
El azar también parece que rige una cotización, por lo menos eso se cree tanto al contemplarla a simple vista como por estudios diversos, de modo que son o parecen paseos aleatorios. Veremos gráficos que parecen cotizaciones generados solamente por el azar y que pueden hacer pensar que no haya nada más detrás en el movimiento del precio en ellas. A pesar de las creencias en un movimiento del precio de una cotización azaroso, veremos que es capital diferenciar y distanciar del azar al movimiento del precio y comenzar a entender que este está regido por ciertas instancias que le llaman a acudir a ciertos destinos. Es importante eliminar el azar o por lo menos parte de él, por más que Mandelbrot, por considerar que este rige caprichosamente el movimiento de las cotizaciones, las siguiese encorsetando como paseos aleatorios sin serlo del todo.
Mandelbrot, en su matemática fractal, cambió el paso de los paseos aleatorios, yendo del ruido browniano clásico a otros pasos, saltos o carreras, como el ruido o camino browniano fraccionario o el de los vuelos de Lévy, y por ello, por considerar que el azar rige el camino, negó pautas y habló de que estas son el oro de los tontos. No obstante, esta obra va del cierto determinismo presente en el futuro de las cotizaciones, que descansa en procesos cuyos ejes centrales son la existencia de transformaciones comparables de algún modo a las afines que se dan repetidas por doquier en cualquier cotización, pero no apuntando a un lugar concreto como suelen hacer las pautas del análisis técnico, sino apuntando a varios lugares concretos a la vez en los que se han concentrado probabilidades de acudir la cotización futura. Son varias las transformaciones probabilísticas coexisten de diversa índole, interfiriéndose unas con otras o reforzándose y son ellas las que van construyendo la multifractalidad. Mandelbrot llegó a la multifractalidad en las cotizaciones, pero no lo hizo a través de un ruido o movimiento browniano multifracional porque quizá consideró que tan solo podía haber un único coeficiente de autoafinidad en ellas que después era alterado por un tiempo multifractal distinto al tiempo real.
Azar y probabilidad son conceptos que tenemos entremezclamos con ciertas dosis de incertidumbre. Así, por ejemplo, la probabilidad de que al tirar un dado salga un 5 es de un sexto; en cambio, se tiene incertidumbre al lanzar el dado sobre el resultado que saldrá, el azar hace que salga un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un 6. El futuro de una cotización también se forma de un modo probabilístico, pero tiene marcadas diferencias, con características muy distintas a lo que entendemos por azar y por probabilidad. Cierto que en el futuro de una cotización hay incertidumbre en cuanto que esta acuda a lugares concretos a citas de precio y también de tiempo en las que marcar un destacado máximo o un mínimo en cada una de ellas. Siguiendo con el ejemplo del dado como símil para una cotización; en una cotización, si funcionase como un dado, al lanzarlo podría no salir nada, salir un 1, o un 2, o un 3, o un 4, o un 5, o un 6, o un 1 y un 2, o un 1 y un 3, … … o un 5 y un 6, o un 1 y un 2 y un 3, o un 1 y un 2 y un 4, … … o un 1 y un 2 y un 3 y un 4 y un 5 y un 6. Así es, podrían darse cualquier combinación de sus números o ninguno de ellos, y ello lanzando un solo dado, pero es que, en las cotizaciones, no solo se lanza un dado, sino que a la vez también hay otros objetos que también dan su combinación de resultados múltiples, siendo el lanzamiento del dado y de los otros objetos en ocasiones coetáneos y en la mayoría de veces no sincrónicos, incluso esperando los resultados del lanzamiento de un dado y/o de otro objeto vuelve a lanzarse el dado u otro objeto esperando los resultados múltiples de todos los lanzamientos y generando nuevos multi-lugares de posibles cotas en los que la cotización va a marcar uno o varios máximos o uno o varios mínimos.
Desde la óptica del azar y probabilidad es como se ha considerado que evoluciona una cotización, eso es lo que ocurre en un paseo aleatorio, que el azar en todo momento y en todas sus partes rige el siguiente paso, su tamaño, su orientación, etc. Como paseos aleatorios, que se siguen considerando en muchas ocasiones las cotizaciones, el azar las regiría y sacar provecho de ellas sería suerte en un mero juego como la ruleta sin banca. Se ganaría por suerte o por información privilegiada, aunque hay quienes sacan provecho habitualmente de las cotizaciones sin tal información privilegiada, y estas personas o instituciones no son tahúres. De los paseos aleatorios se deriva la eficiencia de los mercados, por más evidencias de que estos no son eficientes, y se recurre a artificios para inventar grados de eficiencia de los mercados que tienen que ver con la información obtenida o privilegiada, en vez de cargar contra los paseos aleatorios y en consecuencia contra la eficiencia. En las cotizaciones existe cierta certeza, o si se prefiere certeza incierta, y los paseos aleatorios absolutos hay que descartarlos por tal y considerar, al menos, algo de determinismo sujeto a concentraciones de probabilidad de acudir a ciertos precios borrosos. Hay ciertos grados de certeza y de incertidumbre en el camino futuro de cada cotización. Todo determinismo que no sea absoluto implica que exista una parte errática y debemos de considerar a las cotizaciones como deterministas no absolutas en acudir a lugares concretos, no siendo caminos aleatorios puros. No ocurre que en una cotización se acuda a ciertos precios que se pueden preestablecer por un no se sabe qué, se acude a ellos por ciertos hechos que están en la propia cotización y que van construyéndola en varios procesos coexistente y coetáneos, apareciendo con cada nuevo precio, con cada nueva cota, más hechos lanzadores de futuros lugares probables a los que acudir. Por la propia evolución de una cotización, constantemente aparecen más y más lugares con posibilidades de que futuramente el precio acuda a ellos, pero entre estos, a priori, los hay que tienen más posibilidades de ser alcanzados creando máximos o mínimos relativos de más relevancia. Cuando diversos materiales lanzadores de lugares probables, es decir, cuando varias estructuras de construcción fractal, coinciden en alguno o algunos precios borrosos futuros, esos precios tienen mucha más probabilidad de producirse como máximos o mínimos relativos o absolutos que otros.
Debido a los varios tipos de transformaciones entremezcladas y coexistentes, que construyen cada cotización, actuando cada una de ellas en un tamaño de zona distinta, pero compartiendo en sus zonas de actuación un espacio común intersección de ellas, se tiene la multifractalidad de las cotizaciones. Si tan solo existiese un tipo de transformación que apuntase a un solo resultado, seguramente una cotización sería monofractal, pero actuando varias transformaciones, tanto del mismo tipo como de distinto a la vez, aparece la multifractalidad como combinación de monofractalidades que se interfieren o se refuerzan en sus probables (inciertos) precios futuros. Cada transformación tiene su propio comportamiento local, entendiendo el localismo como una vecindad que depende de alguna manera del escalado en el que contemplemos y estudiemos una cotización. Mandelbrot consideró para el precio un único proceso iterativo contractivo sometido al azar. Azar que podía generar con algo semejante al lanzamiento de un dado y que determinase en la siguiente iteración contractiva qué patrón de reorganización de las líneas del mismo cartón inicial se iba a emplear. Tal método no crea ningún futurible precio, sino que tan solo rellena una posible historia pasada ficticia de mayor detalle, una historia dada entre un precio mínimo o máximo en un tiempo inicial y un precio máximo o un mínimo en un tiempo final, siendo el tiempo inicial y el final ya tiempos pasados ficticios. Una cotización real tiene pasado, presente y futuro, y ese futuro incierto puede ser descrito iterativamente, pero no por transformaciones contractivas azarosas ya que no hay ahora un futuro precio y un tiempo desde los que contraer, sino que el futuro se forma por actuación de una familia muy diversa de transformaciones de dilatación desde lo ya ocurrido, dotadas estas transformaciones de concentraciones de probabilidad de diversos alcances, y con ellas se va escribiendo tal futuro. El libro que lee trata sobre ello, sobre el futuro de cada cotización y cómo hallar lugares a los que el precio tiene predisposición a llegar marcando máximos o mínimos relativos o absolutos, y todo ello indagando en su estructura multifractal.
Aunque todo será explicado más adelante, un monofractal tiene una dimensión fractal más o menos constante en todas partes y tamaños. Supone esto que el exponente de Hurst es más o menos constante en todas partes y tamaños del fractal, porque del exponente de Hurst se puede obtener la dimensión fractal. Si tan solo hubiese un tipo de transformación en las cotizaciones con un único posible resultado, estas serían seguramente monofractales, pero no solo hay un tipo de transformación y cada una de ellas tiene diversos resultados que se pueden dar. Tales transformaciones tienen una zona de actuación no prefijada y se pueden generar en cualquier momento, pudiendo unirse, intersectarse, sumarse, anidarse, parir nuevas transformaciones o cualquier otro tipo de combinación entre ellas. Veremos que en un multifractal el exponente de Hurst es sustituido por una función que depende del tiempo, a la que se le llama exponente de Hölder, resultando que en cada lugar hay un exponente de Hölder distinto. Con las transformaciones dotadas de probabilidad y con varios resultados posibles a precios o a tiempos borrosos se obtiene la multifractalidad. Supongamos aisladamente cada resultado de cada transformación que se haya producido como una micro zona sin que intervengan otras transformaciones. Una micro zona como las dichas tendrá un exponente de Hurst (ello debido a que bajo esa suposición se tiene monofractalidad o casi monofractalidad en la micro zona), pero a lo largo de la cotización habrá infinidad de exponentes de Hurst porque hay infinidad de micro zonas. Una micro zona como las postulada es idealizar algo que no se da en las cotizaciones, porque siempre hay diversas trasformaciones con actuación en cada lugar, además de que se van creando estas continuamente. Precisamente eso supone ser multifractal, y en cada lugar el exponente de Hölder, que es el resultado de una función que depende del tiempo o si se prefiere que tiene resultados muy distintos en cada lugar, es equivalente al exponente de Hurst en cada punto y también en cada micro zona, exixtiendo un exponente de Hölder puntual y un exponente de Hölde local. Reitero que todo esto será explicado más adelante y solo pretendo basar las transformaciones que emplearé como generadoras de la multifractalidad y de un previsible futuro en las cotizaciones.
Mandelbrot es y será el padre de los fractales. A él le debemos el entender que detrás de muchos aspectos de la Naturaleza que se consideraban muy complejos o incomprensibles subyace una simplicidad que ahora comienza a entenderse como evidente. Entre estos procesos complejos están las cotizaciones que son aproximadamente multifractales. Por desgracia, muchos de los estudios sobre las cotizaciones que tratan su aspecto fractal analizan principalmente su dimensión fractal o su comportamiento autoafín nacido de transformaciones o funciones iteradas contractivas, sin que deduzcan que se pueda predecir parte de su futuro; averiguando, tan solo, de una cotización que su carácter histórico estudiado ha sido persistente o antipersistente, según manifieste su memoria larga; o lo que es lo mismo, su predisposición a haber mantenido tendencias o no haberlas mantenido, cosa que sería útil hacia el futuro si las cotizaciones no fuesen multifractales y sí monofractales. Otros estudios basados en el teorema del collage intentan encontrar qué funciones iteradas contractivas han existido en una cotización, sin que tampoco averiguarlas sirva para intuir su futuro.
Se ha olvidado estudiar en las cotizaciones por qué ciertas semejanzas más allá de las meramente estadísticas se repiten en y entre cualquier escalado, por qué localmente existen afinidades y que debido a ellas existe cierto grado de predicción en su comportamiento. Se ha olvidado estudiar que la construcción de una cotización no sea un proceso contractivo, sino que sea un proceso expansivo, entendiendo por proceso expansivo uno de homotecias de dilatación generadoras de precios futuribles. Tal proceso expansivo supone el estudio de afinidades con más precisión que la nula que se deriva de solo querer contemplar el movimiento errático debido al azar, al movimiento browniano fraccionario, a vuelos de Lévy y toda clase de paseos aleatorios que confinan las cotizaciones a un mero procedimiento estadístico revisionista de lo ya ocurrido, para concluir que existen semejanzas estadísticas en cualquier escalado sobre lo ya acaecido. Se contemplan todavía las cotizaciones como paseos aleatorios, como procesos de Márkov en los que no intervienen memorias, en los que el precio siguiente es independiente de todos los anteriores excepto del último alcanzado, y ello, a pesar de que se sabe que existe memoria de largo plazo.
Un proceso expansivo registrado hasta un momento dado puede ser considerado como un proceso contractivo entre ese momento y un inicio, porque toda transformación expansiva de razón r > 1 es también una transformación contractiva al contemplarla al revés, con razón 1/r, cosa que supone r <1. Tan homotecia es multiplicar un primer segmento por 2, obteniendo un segundo segmento del doble de tamaño del primero, que multiplicar el segundo segmento por 1/2 = 0,5 para obtener el primero. En el primer caso estamos ante un proceso expansivo u homotecia de dilatación y en el segundo caso ante una homotecia contractiva. Expandiendo se va hacia el futuro en las cotizaciones y una vez este ya se ha producido se puede contraer reconstruyendo el pasado. Es decir, que, de una cotización habida hasta el presente, que se ha construido por procesos expansivos, al invertir la flecha del tiempo se puede ir del precio y tiempo actual a cualquier precio y tiempo del pasado por procesos contractivos tal y como postula el teorema del collage y Mandelbrot simulara con sus cartones. Pero la flecha del tiempo no está invertida y considerando transformaciones expansivas sí es predecible el futuro no ocurrido todavía de una cotización, refiriéndome con ello a lugares donde es más probable que una cotización vaya a ir a parar marcando máximos o mínimos, lugares que dependen constantemente de la propia evolución habida y que habrá en la cotización y del localismo en que actúe cada transformación expansiva sujeta a probabilidad. La evolución futura no es fija, pero toma siempre un camino de entre los posibles. En cada momento está sometida a varios tipos transformaciones a la vez y por ello parece errática en su devenir sin serlo más que en parte. Sus posibles futuros están ya escritos en el ahora, y se van creando nuevos más futuros caminos conforme la cotización evoluciona, que no dependen únicamente del último precio alcanzado, sino del bagaje que lleva colgado una cotización en su histórico.
Los pulmones tienen una estructura fractal. Su superficie interna ocupa casi la totalidad su volumen, tienen una dimensión fractal de 2,97 como superficie, que queda muy cercana a la de su espacio euclídeo que lo contiene, que es de dimensión 3. Significa eso que la superficie de los pulmones casi cubre todo el volumen sin dejarse huecos apenas. Los pulmones pueden ser estudiados y considerar autosemejanzas en ellos, es decir, encontrar transformaciones contractivas en ellos, pero tales autosemejanzas se encuentran al estudiarlos por disección o por técnicas de observación médica. En el cuerpo existen muchos sistemas y órganos fractales como los pulmones y todos ellos se inician desde el cigoto, única célula que comienza a dividirse y que creará estructuras fractales por expansión y no por procesos contractivos. En algún momento una o varias células quedan diferenciadas y su proceso expansivo crea los pulmones. Ese proceso expansivo tendrá un futuro predecible del que quizá no sepamos exactamente cómo y cuántas divisiones habrá en los bronquiolos o qué cantidad de alveolos habrá en cierta zona, pero con seguridad se sabe qué va a ocurrir hasta el parto y después de él en el proceso expansivo y formativo de los pulmones. Muy probablemente un pulmón humano albergue unos 250 millones de alveolos, un total de 500 millones de alveolos entre los dos pulmones. Debemos de considerar que hay fractales creados por procesos expansivos que después pueden estudiarse contractivamente. Tales procesos expansivos posiblemente deben de tener sus generadores que habrá que indagar. En las cotizaciones ocurre lo mismo y por desgracia Mandelbrot no llegó a percibir cómo pudieran ser los procesos expansivos que generaran sus futuros, considerando procesos iterativos contractivos y paseos aleatorios con ruido browniano fraccionario, o con vuelos de Lévy que podían describir lo ya ocurrido en una cotización. Actualmente se sigue el mismo camino iniciado mucho antes que Mandelbrot, manteniendo el sometimiento de las cotizaciones a paseos aleatorios, alterando los ruidos por los que intentan demostrar que una cotización camina azarosamente. A los diversos tipos de ruido que dicen conducen las cotizaciones se les ha sometido a truncamientos porque la realidad desdice los supuestos y evidentemente hay que volver a trucar los supuestos para ver si con cada trucaje y truncamiento se consigue más aproximación a las cotizaciones habidas, olvidando siempre que en las cotizaciones hay memoria, y que si hay memoria no hay paseo aleatorio puro. Se deben de cambiar los supuestos de aproximación matemática dando cabida a ese futuro multifractal que es, de algún modo, determinista y no tan aleatorio. Piense el lector que de alguna manera un multifractal es una combinación de muchos monofractales, incluso de infinitos monofractales y que se debe de comenzar por sentar conceptos de los monofractales, que en muchas ocasiones son referidos simplemente como fractales. Los multifractales también son referidos como fractales y ello conduce a posibles desorientaciones. Según el contexto «fractal» significará monofractal o multifractal, particularmente significará monofractal conforme introduzca conceptos sobre la fractalidad, pero una cotización es siempre multifractal.