Definición de fractal

Existen infinidad de fractales naturales que pueden modelarse con fractales matemáticos, pero un fractal de nuestro mundo físico, de nuestra vida no lo es matemático, como una pirámide de Egipto no es una pirámide matemática por más perfecta que los faraones mandasen construirlas. A un fractal de la Naturaleza y a uno matemático Mandelbrot los definió como:

“Un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica”.

Hay dimensiones más sencillas de calcular que la de Hausdorff-Besicovitch, como la de conteo por cajas, que también se colocan por encima de la topológica en los fractales y suelen emplearse como dimensión que identifica fractales. Mandelbrot consideró que el coeficiente o exponente de Hurst que en las cotizaciones y otros procesos fractales puede ser hallado, servía para determinar una aproximación a la dimensión fractal. El cálculo de este exponente ya es en sí mismo una aproximación porque es la pendiente de la recta de una regresión lineal según ciertos arreglos logarítmicos y estadísticos de los datos. Casi todos los fractales tienen esas tres dimensiones (Hausdorff-Besicovitch, la que se deriva del cálculo del exponente de Hurst, que en teoría debiera ser la de Hausdorff-Besicovitch y la conteo por cajas) y otras que se pueden emplear para el mismo fin mayores que la dimensión topológica.

Mandelbrot encontró que había conjuntos que escapaban del encuadramiento de la definición por él dada. Encontró fractales con la misma dimensión topológica y de Hausdorff-Besicovitch y dejó, por ello, abierta la definición de fractal a mejoras. La función de Cantor es una curva que Mandelbrot la consideraba un fractal a pesar de que con su propia definición de fractal no podía serlo. Es conocida la función de Cantor como escalera del diablo y ambas dimensiones, la topológica y la de Hausdorff-Besicovitch, son 1.

Es una curva generada dentro de un cuadrado de 1 X 1  y su longitud es 2, siendo una curva rectificable, cuando los fractales curva generalmente suelen ser no rectificables, teniendo estos una longitud infinita en cualquier tramo. Si podemos aproximarnos a una curva tanto como queramos con líneas poligonales iguales decimos que es rectificable; en cambio, a una curva fractal, por lo general, no se puede efectuar tal acercamiento tanto cuanto queramos, siempre el fractal tiene más detalle que cualquier aproximación. En la escalera del diablo está contenido el polvo de Cantor, que podemos obtener si realizamos una proyección de todos los vértices de tal curva sobre el eje de abscisas. El polvo de Cantor sí es un fractal conforme a la definición dada por Mandelbrot.

Kenneth Falconer, en 1990, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications”, dice que una estructura fractal debe satisfacer al menos una de las siguientes propiedades, siendo muy aceptada su propuesta como definitoria:

1. Poseer detalle en todas las escalas de observación.
2. No ser posible describirlo con geometría euclidiana, tanto local como globalmente.
3. Poseer alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística.
4. Que la dimensión fractal sea mayor que su dimensión topológica.
5. Que el algoritmo que sirve para describirlo sea muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

Las cotizaciones tienen una dimensión topológica de 1 y una dimensión fractal entre 1 y 2. La dimensión del espacio euclídeo que las contiene es 2 y son fractales sin ninguna reserva ya que tienen dimensiones por encima de la dimensión topológica de 1, de las distintas que se sitúan por encima de esta y sirven como identificadoras de estos, y porque ha quedado demostrado desde que Mandelbrot las estudiase y postulase que lo son. Además de cumplir la propiedad 4, cumplen la propiedad 1, pues posen detalle en cualquier escalado de observación; así como la propiedad 2, ya que no es posible describirlas con geometría euclidiana; también la propiedad 3 es cumplida, pues su tipo de autosemejanza es estadística y la llamamos autoafinidad, si bien, al ser mutifractales poseen multi-autoafinidad. Cuatro de las cinco propiedades propuestas por Falconer están presentes en las cotizaciones. Aquí trataremos de la propiedad 5 respecto de su futuro, encontraremos algoritmos que construyen las cotizaciones y veremos que esos algoritmos son simples, recursivos y basados generalmente en homotecias de dilatación sometidas a probabilidad. La propiedad 5 respecto de su pasado queda cumplida porque se pueden encontrar sistemas de funciones iteradas como postula el teorema del collage o como hiciera el propio Mandelbrot simulando cotizaciones ficticias ya producidas.

Como cada cotización es multifractal tenemos que cada una es un conjunto o estructura que es muchas veces fractal, una especie de unión, superposición, conjunción, intersección, anidación… de monofractales coordinándose en la construcción de una estructura común. Se tienen máximos y mínimos coordinados por multifractalidad de dos o más algoritmos simples y hay máximos y mínimos nacidos de uno solo de los diversos que coexisten en ellas. Esta es la causa de la variabilidad en el exponente de Hurst o en su autoafinidad o en su dimensión fractal según qué tramos se examinen. Veremos que es así, incluso de tick a tick particularmente, en el apartado de multifractalidad.