Cuando se tiene un sistema iterativo de funciones (SIF), tras infinitas iteraciones converge el sistema en lo que es llamado el atractor del sistema. Muchos fractales matemáticos pueden ser creados con un SIF y el fractal es precisamente el atractor del sistema.
Ocurre que en el mundo real no se puede llagar jamás a la iteración infinita y nunca obtendremos un atractor del sistema real, aunque matemáticamente sí se pueda. Por tal, en algún momento tenemos algo que se va a parecer mucho a lo que sería el fractal matemático (el atractor) creado a través de un SIF.
El teorema del collage nos afirma que se puede encontrar un SIF cuyo atractor esté cercano a un conjunto dado. Esta cercanía supone que el atractor y el conjunto dado estén en un espacio métrico. Por ello, este teorema es básico en la compresión de imágenes, en la compresión fractal de imágenes. El término “cercano” o la cercanía entre el atractor del SIF y el conjunto dado la debemos entender como que ambos son aproximadamente iguales, porque tal cercanía viene definida en términos de la distancia de Hausdorff y explicar esta está fuera de lugar. Así que nos basta con entenderla como una aproximación bastante fidedigna entre el atractor y el conjunto.
Las cotizaciones son representables, todo gráfico (chart) de ellas es una representación en un espacio de 2 dimensiones y cada una de las representaciones puede entenderse o asimilarse a que está graficada en un espacio métrico. Por tanto, se pueden hallar por lo demostrado en el teorema del collage sistemas iterativos de funciones cuyo atractor de cada uno esté lo suficientemente cerca a lo que ha sido la cotización representada.
El la compresión fractal de imágenes existen diversas técnicas para tal fin. Se puede encontrar un SIF de toda la imagen o dividir esta en diversos cuadrados o rectángulos y hallar para cada uno de ellos un SIF obteniendo un conjunto de SIF, son dos ejemplos de técnicas. Cuanta más precisión queramos en la compresión fractal más complejo es obtener un SIF y tal SIF contiene más funciones. De modo que el teorema del collage viene a decir que podemos encontrar un SIF cuyo atractor esté tan suficientemente cercano a un conjunto dado como deseemos. Vuelvo a comentar que “cercano” a efectos prácticos significa obtener una imagen aproximadamente igual a la original.
Para una cotización (un fragmento de ella) se pueden encontrar sistemas iterativos de funciones cuyo atractor se aproxime a ella, al fragmento. Por desgracia, intentar extrapolar con un SIF qué ocurrirá en el futuro en una cotización es lo mismo que intentar averiguar qué hay afuera de una imagen (una fotografía) cuando esta se captó. Un SIF o diversos SIF existirán siempre para una cotización habida, que serán unas aproximaciones a lo que ya ha ocurrido, incluso pueden coincidir con lo ya ocurrido, pero de ellos no se puede deducir el futuro, ni tampoco el pasado anterior al fragmento estudiado.
Para la generación de ficticias cotizaciones, a los que llamó cartones, Mandelbrot comenzó empleando una iteración, algo parecido a un SIF, pero pronto tuvo que introducir aleatoriedad y recombinaciones en un proceso iterativo que ya no era un SIF. Así y todo, con tal proceso tampoco se puede predecir qué pueda ocurrir en el futuro.
Si una cotización fuese un fractal con autosemejanza completa sí que su SIF o un SIF que la aproximase nos valdría para saber que ocurrirá en cualquier momento futuro o casi que en todo momento futuro, pero las cotizaciones, de la autosemenjanza, tienen autoafinidad (muchas autoafinidades por ser multifractales) y algo de autosimilitud, como afirmo y expongo en esta Web, y cualquier SIF es inútil para encontrar averiguar posible futuro.
Se buscan correlaciones y autocorrelaciones en las cotizaciones de fragmentos actuales con otros fragmentos pasados de diverso tamaño para una vez encontrada la correlación o autocorrelación esperar un devenir inmediato acorde a lo hallado. Por ejemplo, supongamos los últimos 15 minutos de la cotización X observada en grupos de 10 en 10 ticks y se encuentra una correlación (generalmente correlación de Pearson) muy cercana a 1 con un fragmento pasado de la cotización Y observada en tiempos de cada 20 minutos y además se halla una segunda correlación consigo misma (autocorrelación) con un fragmento pasado tomado en tiempos de 5 en 5 minutos. Además el fragmento de la cotización Y y el fragmento pasado de la propia cotización no solo tienen una correlación cercana a 1 en los fragmentos estudiados, sino que también correlacionan en las proximidades de 1 en un 50% más de los fragmentos a futuro. Como nuestra cotización X correlaciona con el fragmento de Y y autocorrelaciona con un fragmento se sí misma, pues se espera que en un 50% del tiempo estudiado (15 minutos de 10 en 10 ticks) a futuro evolucione igual, es decir, se espera que los próximos 7 minutos y medio sean predichos por lo encontrado. Evidentemente, esto es tarea para ordenadores potentes y grandes bases de datos y lo hace todos los días y en cada momento.
Implícitamente la búsqueda de correlaciones y particularmente autocorrelaciones comporta aceptar que en las cotizaciones hay autosimilitudes. Que se acepte algo implícitamente no significa que se acepte conscientemente. Es lo que ocurre, por desgracia o por suerte, con las cotizaciones, que tienen cierto grado de autosimilitud, y porque Mandelbrot y otros solo les atribuyesen autoafinidad, quedándose ahí, tal autosimilitud no ha sido estudiada.
Las correlaciones y autocorrelaciones en las cotizaciones son más básicas que encontrar fragmentos que evolucionan del mismo modo entre cotizaciones o en una misma. Estas correlaciones nacen generalmente de distancias en precio concretas que tienen sus homotecias probables, interviniendo en la multiplicación para hallar cada homotecia un número borroso. De una distancia hay un conjunto borroso de números borrosos que propone, por tal borrosidad del conjunto, varias homotecias posibles con resultados imprecisos por la multiplicación con números borrosos.
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