Mandelbrot definió los fractales como conjuntos cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica (aunque él mismo encontró fractales con ambas dimensiones iguales). Por ello, Kenneth Falconer, en 1990, postuló que una estructura fractal debe satisfacer al menos una de las siguientes propiedades, siendo muy aceptada su propuesta como definitoria de lo que es un fractal:

1. Poseer detalle en todas las escalas de observación.
2. No ser posible describirlo con geometría euclidiana, tanto local como globalmente.
3. Poseer alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística.
4. Que la dimensión fractal sea mayor que su dimensión topológica.
5. Que el algoritmo que sirve para describirlo sea muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.
   

Los fractales (monofractales o multifractales) tienen generalmente su dimensión de Hausdorff-Besicovitch mayor que su dimensión topológica, tanto localmente como globalmente. Es lo que ocurre en las cotizaciones. Además, todas las cotizaciones tienen detalle en todas las escalas de observación, no se pueden describir por la geometría euclidiana, poseen autosemejanza (todas tienen autoafinidad), pero el algoritmo simple y posiblemente recursivo es lo que las diferencia de ser un monofractal. No hay un solo algoritmo, sino que son muchos algoritmos y por ello es por lo que son multifractales.

Con un algoritmo se puede construir un monofractal y ese algoritmo generalmente es recurrente. Eso significa que se aplica una vez y su resultado vuelve a aplicarse como entrada del algoritmo, y así sucesivamente. En tal algoritmo puede intervenir azar o no intervenir este. Si no interviene azar en su único algoritmo seguramente se estará ante un fractal autosimilar (tiene copias exactas de sí mismo en sí mismo, pero a menor escala, y de esas copias hay copias cada vez menores. Si interviene el azar se pueden crear complicados monofractales, pero tal complejidad no los convierte en multifractales.

En un multifractal no hay tan solo un algoritmo, sino que varios son los constructores de una única estructura (conjunto) multifractal y su complejidad parece azarosa. Como la estructura del multifractal es única, los diversos algoritmos se han tenido que, por decirlo de algún modo, combinar, coordinar, interferir… para que el conjunto sea único y no sea una mera unión de conjuntos monofractales.

Las cotizaciones son multifractales y se van construyendo con el paso del tiempo. No son monofractales, ni tampoco son la unión de conjuntos monofractales (Si fueran unión de conjuntos monofractales, en un mismo tiempo habría varios precios a la vez, cosa que no ocurre, en un tiempo concreto tan solo hay un tick con un único precio). Hay varios algoritmos que las van creando, algoritmos en los que uno podría pensar a priori que el azar está presente en ellos. Si fueran algoritmos azarosos, las cotizaciones serían meros paseos aleatorios, como se ha defendido, o simplemente asumido, erróneamente en multitud de ocasiones, y los mercados serían eficientes. Pero la realidad expone que los mercados no son eficientes ni las cotizaciones son paseos aleatorios (A Non-Random Walk Down Wall Street es otro importante aporte a negar los paseos aleatorios de las cotizaciones), así que hay que descartar la aleatoriedad y consecuentemente el azar en los algoritmos que las van creando.

Uno puede preguntarse: ¿Cómo una cotización, que es el resultado de compras y ventas, puede ser creada por unos algoritmos? Y tal pregunta tiene respuesta, aunque parezca que vaya contra toda lógica. Hurst ya descubrió que el Nilo tenía memoria en cuanto a su caudal. Esa memoria la vio en otros muchos fenómenos que hoy sabemos que son fractales. Así mismo, Mandelbrot descubrió lo mismo en el registro histórico del precio del algodón, y hoy no se cuestiona que existen memorias en las cotizaciones. Si las cotizaciones como otros fractales u otros multifractales guardan memoria de largo plazo, habrá que averiguar cómo es tal memoria, qué es lo que hace que se recuerden cosas que van a construir sus futuros. Habrá que descubrir qué algoritmos van creando las cotizaciones sin la intervención de azar. Y sí, lo he dicho bien, hay que remitirse a los algoritmos, porque ellos son los que crean cada multifractal llamado cotización.

Una cotización se construye tick a tick y, por tanto, no solo debemos de considerar largo plazo a lo que ocurra en años, sino que basta con muchos ticks para que lo tengamos y se manifiesten los fenómenos de tales memorias de largo plazo. Pero estos fenómenos vienen producidos por algoritmos, así que nuevamente esos algoritmos hay que localizarlos y ver por qué parecen producir un movimiento errático en las cotizaciones, cuando estas se crean con compras y ventas entre humanos u ordenadores programados con otros algoritmos distintos a los que intervienen en la confección de una cotización.

Todo lo escrito en esta Web y su blog, así como lo escrito en mi blog en Rankia está encaminado a exponer qué algoritmos intervienen, algoritmos que generalmente comportan la existencia de homotecias concretas y probables de ciertas distancias en precio o en tiempo (Entienda el lector que probabilidad no es en este caso sinónimo ni derivado de azar). Hay muchos algoritmos en una cotización y todos ellos proponen precios o tiempos posibles, nunca precios o tiempos que se vayan a producir con una certeza del 100%, pero cuando varios de ellos apuntan a una misma zona de precio o de tiempo la probabilidad de que en esa zona se produzca un máximo o un mínimo es significativamente mayor. Existen modos más complejos de explicar lo que ocurre en las cotizaciones como multifractales que son, pero es sencillo hacerlo recurriendo a conjuntos borrosos y números borrosos. Siempre en un algoritmo existe un conjunto borroso del que se desprenderán diversos precios o tiempos alcanzables como máximos o mínimos relativos. Cada conjunto borroso que interviene de cada algoritmo de una cotización tiene sus elementos, y esos elementos pertenecen a su conjunto borroso con un grado de pertenencia que no es en ningún caso del 100%. Si el grado de pertenencia de cada elemento de cada conjunto borroso lo tomamos como el grado de posibilidad (probabilidad)de que una homotecia (proporción) de una distancia en precio o en tiempo se dé futuramente, tendremos las bases de cómo funcionan los algoritmos que crean las cotizaciones. Los elementos de los diversos conjuntos borrosos de los diversos algoritmos son a su vez números borrosos. Así al multiplicar un número borroso (elemento de uno de los conjuntos borrosos de uno de los algoritmos) por una distancia en precio o en tiempo nos da como resultado una homotecia borrosa de tal distancia. O sea, nos da como resultado un objetivo de precio o de tiempo que no es una exactitud, sino que es una zona de precio o una zona de tiempo. Y tales zonas son solamente lugares probables, por lo dicho de sobre los conjuntos borrosos, en los que se vayan a producir un máximo o un mínimo relevante.

Los algoritmos son muchos y los voy y he ido describiendo. Son iguales tales algoritmos para todas las cotizaciones. Además de en los que intervienen homotecias y traslados de estas a lugares concretos, también existen otros nacidos de otras semejanzas en el plano (tiempo x precio) afín, pero todos estos algoritmos, obligatoriamente, han de ser invariantes a cambios en el escalamiento y obligatoriamente coordinarse en la fabricación futura de una cotización.

Las cotizaciones son aproximadamente multifractales. Una parte de tal aproximación viene dada por la borrosidad en los resultados de sus algoritmos creadores. Esta borrosidad quizá no sea suficiente para tildarlas de ‘aproximadamente multifractales’, pues bastaría tan solo apodarlas ‘borrosamente multifractales’. La otra parte, por lo que son aproximadamente multifractales, es que de vez en cuando aparecen desadaptaciones a lo previsto en la coordinación de los algoritmos. Aparecen en la vida hechos inesperados, sucesos repentinos, noticias impactantes, etc. que provocan un mínimo o un máximo (o varios) fuera de los resultados de los algoritmos. Pero tales desadaptaciones se integran como inputs de diversos algoritmos creadores de la futura multifractalidad.